En el libro de teoría de la medida de Paul R.Halmos dice "las uniones e intersecciones se tratan de forma asimétrica en la definición de los anillos, mientras que, por ejemplo, es cierto que un anillo es cerrado bajo la formación de intersecciones, no es cierto que una clase de conjuntos cerrados bajo la formación de intersecciones y diferencias sea necesariamente cerrada bajo la formación de uniones" . Me preguntaba cómo se puede demostrar eso?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dick Kusleika
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Lo demuestras dando un ejemplo de un conjunto de subconjuntos que es cerrado bajo intersecciones y diferencias pero no cerrado bajo uniones.
Por ejemplo, en cualquier conjunto $X$ con al menos dos puntos, la familia $\{\{x\}: x \in X\} \cup \{\emptyset\}$ es tal.
por lo que ser cerrado bajo unión y diferencias (un anillo) implica ser cerrado bajo intersecciones, pero ser cerrado bajo intersecciones y diferencias no no implican el cierre de los sindicatos. Por tanto, no podemos intercambiar los roles de unión e intersección, que es lo que pretende Halmos. Trata de dar un conjunto "mínimo" de condiciones, porque así es más fácil (menos trabajo) comprobar que una familia es realmente un anillo. Así que aquí pasa a señalar que también podría haber pedido que se cerrara bajo intersecciones, diferencias propias y uniones disjuntas. Así que hay condiciones que podemos añadir a la cerrazón bajo intersecciones para obtener un anillo, pero no basta con la cerrazón bajo diferencias.
