Cómo demostrar esta desigualdad $2a^ab^bc^cd^d\ge ac+bd$

Question

Dejemos que $a,b,c,d$ sean números positivos tales que $a+b+c+d=2$ . Demostrar que $$2a^ab^bc^cd^d\ge ac+bd$$ Mi intento: Creo que puedo usar esta desigualdad $$(1+x)^n\ge 1+nx \hspace{12pt} (n>1)$$ entonces no puedo hacer que funcione.

Creo que esta desigualdad puede resolverse con métodos agradables. Gracias.

Answer 1

Si $a \neq c$ y luego mira lo que pasa si reemplazamos ambos $a$ y $c$ con $x = (a+c)/2$ :

$x^2 \ge x^2 - (\frac {a-c}2)^2 = ac$ .

Dado que la función $x \mapsto x \log x$ es convexo (su segunda derivada es $1/x$ que es positivo), $\log(a^ac^c) = a \log a + c \log c \ge 2x \log x = \log (x^{2x})$ .

Por lo tanto, $2a^ab^bc^cd^d \ge 2x^xb^bx^xd^d$ , $x^2+bd \ge ac+bd$ y todavía tenemos $x+b+x+d = a+b+c+d = 2$ por lo que basta con demostrar la desigualdad cuando $a=c$ (y cuando $b=d$ por razones de simetría).

Así que nos queda demostrar que si $x+y = 1$ puis $2x^{2x}y^{2y} \ge x^2 + y^2$ . Sea $x = \frac {1+z}2$ y $y = \frac {1-z}2$ . Después de simplificar, tenemos que demostrar que para $|z| < 1$ , $(\frac{1+z}{1-z})^z \frac {1 - z^2}{1 + z^2} \ge 1$ .

Tomando los registros, tenemos que mostrar $z \log(1+z) - z \log(1-z) + \log(1-z^2) - \log(1+z^2) \ge 0$ . Utilizando $\log$ de la serie de potencia en $1$ Esto es

$(2z^2 + 2z^4/3 + 2z^6/5 + 2z^8/7 + 2z^{10}/9 +\ldots) - (2z^2 + 2z^6/3 + 2z^{10}/5 + \ldots) \ge (2z^2 + 2z^6/3 + 2z^{10}/5 + 2z^{14}/7 + 2z^{18}/9 + \dots) - (2z^2 + 2z^6/3 + 2z^{10}/5 + \ldots) = 0$

Probablemente haya algo más inteligente que hacer en su lugar, pero esto funciona.

Answer 2

Esto es sólo para probar la última desigualdad de Mercio:

$f(x)=x\log{(1+x)}-x\log{(1-x)}+\log{(1-x^2)}-\log{(1+x^2)}$ ,

desde $f(x)=f(-x)$ Sólo tomamos $x\ge0$

ahora pruebe $f'(x)>0$ :

$f'(x)=\log{\dfrac{1+x}{1-x}}-\dfrac{2x}{x^2+1}$

dejar $g(x)=\log{\dfrac{1+x}{1-x}}-2x, g'(x)=\dfrac{2x^2}{1-x^2}>0 \implies g(x)>0 \implies \log{\dfrac{1+x}{1-x}}>2x\ge\dfrac{2x}{x^2+1} \implies f'(x)>0 \implies f(x)\ge f(0)=0 $