Suma de los ceros de $x^4-7x^3+2x^2+5x-1=0$

Question

Alguien me planteó esta pregunta en un foro y aún no la he resuelto. Si $a,b,c,d$ son los ceros de:

$$x^4-7x^3+2x^2+5x-1=0$$ Entonces, ¿cuál es el valor de $$ \frac1a +\frac1b +\frac1c +\frac1d $$

Puedo entender los ceros, pero son tremendamente complejos. Estoy seguro de que debe haber una manera más fácil.

Answer 1

$$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = x^4 + \ldots - (abc+abd+acd+bcd)x + abcd$$ Así que $$abcd = -1$$ y $$abc + abd + acd + bcd = abcd \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac1c + \frac1d\right) = -5$$ haciendo $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac1c + \frac1d = 5$$

Answer 2

Si $P(x)=x^4-7x^3+2x^2+5x-1$ tiene raíces $a,b,c,d$ puis $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$ son las raíces de $P(\frac{1}{x})=0$ $\iff$ $1-7x+2x^2+5x^3-x^4=0$ . Por las relaciones de Vieta, la suma de las raíces de este último es $5$ .

Answer 3

Sugerencia: Si $f(x)$ tiene raíces $a,b,c,d$ puis $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$ . Expande esto y compara los coeficientes con el cuártico dado. (En particular, los coeficientes de $x^3$ y $x^0$ .)