Un espacio topológico es un par de un conjunto y una familia de subconjuntos (cerrados bajo ciertas operaciones que dan a dicha familia la estructura de una topología).
Los homemorfismos son exactamente los mapas más naturales entre dichos espacios: dados dos espacios topológicos $\langle X, \tau_X \rangle$ y $\langle Y,\tau_Y \rangle$ un homemorfismo $f \colon \langle X,\tau_X \rangle \to \langle Y,\tau_Y\rangle$ equivale a una biyección $f \colon X \to Y$ tal que el mapa inducido $\mathcal P(f) \colon \mathcal P(X) \to \mathcal P(Y)$ entre subconjuntos es tal para todos $A \subseteq X$ tenemos $$A \in \tau_X \iff \mathcal P(f)(A) \in \tau_Y$$
este tipo de mapas son los que preservan toda la estructura de los espacios topológicos, lo que significa que los dos objetos son iguales hasta cambiar el nombre de los puntos de un espacio con los puntos del otro espacio, y el homemorfismo juega el papel de un diccionario que cambia de nombre.
Así que los espacios topológicos homemórficos son lo mismo en el sentido estricto. No obstante, a veces puede ser muy útil considerar los espacios hasta una forma más débil de equivalencia. La homotopía pretende comparar espacios por forma en lugar de estructuras topológicas: mientras que los homemorfismos preservan el entramado de conjuntos abiertos las equivalencias homotópicas preservan el forma del espacio, donde por forma nos referimos a una característica del espacio que se conserva hasta deformación .
Para entender por qué ésta es una buena definición de equivalencia hasta la deformación hay que entender cómo se formaliza el concepto de deformación. La homotopía cumple este propósito, recuerdo la definición y luego trato de explicar una posible interpretación del concepto.
Una homotopía del espacio $X$ al espacio $Y$ es un mapeo $$f\colon X \times [0,1] \to Y$$ esta es la definición formal, de todos modos utilizando la topología compacta-abierta y el hecho de que $[0,1]$ es un espacio localmente compacto podemos definir de forma equivalente una homotopía como un mapeo $$f \colon X \to Y^{[0,1]}$$ es decir, como una función continua que envía cada punto de $x$ a una ruta en $Y$ .
Teniendo en cuenta esta definición, una homotopía puede entenderse como una deformación de la función $x \mapsto f(x)(0)$ en la función $x \mapsto f(x)(1)$ donde cada camino $f(x) \colon [0,1] \to Y$ expresan la trayectoria a lo largo de la cual deformamos el punto $f(x)$ .
Cuando se tienen homotopías de incrustaciones, y así $X \subseteq Y$ , las homotopías te dan la deformación de los puntos de $X$ a lo largo del camino en el espacio más grande $Y$ que deforma el espacio inicial $X$ en otro subespacio de $Y$ , es decir, el subconjunto $\{f(x)(1) \mid x \in X\}$ .
Ahora para lo que sigue asumo que tienes un pequeño conocimiento de la teoría de categorías .
Normalmente, cuando se trata de espacios topológicos se trabaja con la categoría $\mathbf{Top}$ de los espacios topológicos y de la función continua, cuando se trabaja en cambio en la teoría de la homotopía se trata también de otra categoría $\mathbf{HoTop}$ la categoría de homotopía de los espacios topológicos y las clases de homotopía de las funciones continuas (clases de funciones continuas que pueden deformarse unas en otras).
La teoría de las categorías nos enseña que podemos considerar que los objetos son iguales (según la categoría considerada) si están relacionados por isomorfismos, es decir, por pares de morfismos que son inversos. Cuando trabajamos con el contexto homotópico, en $\mathbf{HoTop}$ los isomorfismos son mapeos $f \colon X \to Y$ y $g \colon Y \to X$ que son una la inversa de la otra hasta la homotopía (es decir, hasta la deformación): $g \circ f$ no necesita ser la identidad de $X$ pero debe ser hasta la deformación, lo mismo vale para $f \circ g$ .
Este tipo de isomorfismos es más débil que los homemorfismos (que preservan toda la estructura topológica) de hecho no preserva ni la cardinalidad: por ejemplo $\mathbb R$ con la topología euclidiana es equivalente en homotopía al espacio de puntos. Sin embargo, hay muy buenas razones para considerar los espacios hasta la homotopía porque muchas propiedades de los espacios son homotópicas en el sentido de que se preservan por equivalencia homotópica. Pondré un ejemplo: para todo espacio contráctil $X$ (un espacio que es equivalente en homotopía al punto) tenemos que todo mapa $f \colon S^n \to X$ puede extenderse a un mapa $\bar f \colon D^n \to X$ . En realidad hay muchas propiedades de este tipo, problema de extensión de la cartografía, que dependen sólo de la homotopía del espacio, no de la topología.
Espero que esta respuesta tan larga sea de ayuda :)
