Prueba $uvu=u$ , $v$ único implica $u$ invertible en un anillo $R$

Question

Supongamos que $R$ es un anillo y $u,v \in R$ son así, tales que $uvu=u$ y $v$ es único. ¿Cómo puedo demostrar que $u$ ¿es invertible? Se supone que R tiene identidad multiplicativa. Hasta ahora he podido demostrar que $u,v \neq 0$ . También he comprobado que $u$ no puede ser un elemento no invertible con una inversa unilateral. ¿Pueden darme algunas pistas más?

Answer 1

Dado que $uvu=u$ para algunos únicos $v$ , tenga en cuenta que $u^2vu=u^2$ . Considere la cantidad : $u(v+uv-1)u$ . Tenga en cuenta que $u(v+uv-1)u = uvu + u^2vu - u^2 = u + u^2 - u^2 = u$ . Pero entonces, $v$ era el único elemento con esta propiedad, por lo que $v=v+uv-1$ por lo que $uv=1$ .

Answer 2

De hecho, existe otra forma de generalización de este lema. Para un elemento $u$ en el ring $R$ la condición suficiente y necesaria para su invertibilidad es (1) $uvu=u$ , $vu^2v=1$ o (2) $uvu=u$ y tal $v$ es único.

La necesidad es fácil de verificar y la parte 2 de la suficiencia se ha dado. Por lo tanto, me gustaría proporcionar la prueba de la parte 1. Como la condición (1) implica que el semigrupo $(R,\cdot)$ contiene un elemento de identidad y $vu^2v=(vu)(uv)=1$ tenemos $uv=(vu)^{-1}$ . Tenga en cuenta que $u = uvu = u(vu)^{-1} = u^2v$ . Entonces tenemos $vu=vu^2v=1$ lo que implica que $u$ es invertible y además $v = u^{-1}$ .