Dejemos que $(X,d)$ y $(Y,\rho)$ sean espacios métricos y $f:X\to Y$ sea una función y supongamos para cualquier secuencia de Cauchy $(a_n)$ en $X$ , $(f(a_n))$ es una secuencia de Cauchy en $Y$ .
Es $f$ ¿constantemente?
Dejemos que $f$ sea continua, ¿es uniformemente continua?
Sí, si $f$ envía secuencias de Cauchy a secuencias de Cauchy entonces es continua:
Dejemos que $x\in X$ . Supongamos, por si acaso, que $f$ no es continua en $x$ . Entonces existe un $\epsilon>0$ y una secuencia $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ en $X$ tal que $a_n\rightarrow x$ pero $\rho(f(a_n),f(x))>\epsilon$ para todos $n\in\mathbb N$ .
Para terminar la prueba consideremos la secuencia $$ b_n= \begin{cases} a_n, \ n\text{ even},\\ \\ x, \ n\text{ odd}. \end{cases} $$ La secuencia $(b_n)_{n\in\mathbb N}$ es Cauchy pero $(f(b_n))_{n\in\mathbb N}$ no lo es.
No es necesario que sea uniforme y continuo. Tome la función $ f(x) =x^2 $ en la línea real. Obsérvese que si se toma cualquier sucesión de Cauchy, entonces está contenida en algún intervalo acotado cerrado y allí la función es uniformemente continua, por lo que la sucesión de la imagen debe ser de Cauchy. Pero la función no es uniformemente continua en toda la línea real.
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