Supongamos que $E$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb K$ (que es $\mathbb R$ o $\mathbb C$ ). Si $(f_{1},…,f_{k}) \in L(E,\mathbb K)=E^*$ (consideramos $k$ mapas lineales de E a $\mathbb K$ ). Me pregunto cómo probar que $$ \dim \cap_{i=1}^{k} Ker \ f_{i}=n-k \Leftrightarrow \{f_1,…,f_{k}\} \ \rm{are \ linearly \ independent\ in} \ E^* $$ Se menciona en un libro de álgebra lineal sin demostración y este lema parece ser útil, por ejemplo para demostrar que una familia de formas lineales es linealmente independiente. La demostración me parece muy difícil. Soy estudiante de grado. Gracias por cualquier ayuda.
Respuesta
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L.Z. Wong
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Esta es una manera de pensar en ello. Escriba los elementos en $E$ como vectores columna, y los elementos en $E^*$ como vectores de fila. Entonces, dado $f_1,\dots,f_k \in E^*$ podemos formar la matriz $M$ cuyas filas son las $f_i$ s: $$ M = \begin{pmatrix} \leftarrow f_1 \rightarrow \\ \leftarrow f_2 \rightarrow \\ \vdots \\ \leftarrow f_k \rightarrow \end{pmatrix}. $$
Entonces observa que
$$\text{ker} M = \cap_{i=1}^k \text{ker} f_i.$$
¿Cuál es el rango de $M$ cuando:
- $\text{dim} \cap_{i=1}^k \text{ker} f_i = n-k$ ?
- $f_1,\dots,f_k$ son linealmente independientes?
