A partir de un ejemplo, una función que es continua pero no uniformemente continua

Question

¿Cuál sería un ejemplo de una función que es continua, pero no uniformemente continua?

Will $f(x)=\frac{1}{x}$ en el dominio $(0,2)$ ¿ser un ejemplo? ¿Y por qué es un ejemplo?

Por favor, explique estrictamente utilizando las definiciones pertinentes.

Answer 1

Claramente $\,\displaystyle{\frac{1}{x}}\,$ es continua en $\,(0,2)\,$ ya que es el cociente de dos polinomios y el denominador no desaparece allí.

Ahora bien, si la función fuera uniformemente continua entonces

$$\forall\,\epsilon>0\,\,\exists\,\delta>0\,\,s.t.\,\,|x-y|<\delta\Longrightarrow \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right|<\epsilon$$

Pero tomando $\,\epsilon=1\,$ entonces para cualquier $\,\delta>0\,$ tomamos

$$x:=\min(\delta,1)\,\,,\,y=\frac{x}{2}\Longrightarrow |x-y|=\frac{x}{2}<\delta, \,\text{but nevertheless}$$

$$\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right|=\left|\frac{1}{x}-\frac{2}{x}\right|=\left|\frac{1}{x}\right|\geq 1=\epsilon$$