Parametrización del círculo

Question

Dibuja la circunferencia de radio dos centrada en (1,1, 1) y situada en el plano x + y+z = 3 Parametriza la circunferencia. (Sugerencia: Encuentra dos vectores unitarios ortogonales que sean paralelos al plano).

No necesito ayuda con el dibujo, pero hasta ahora he encontrado los vectores unitarios i, j, k usando la ecuación del plano, luego el punto (3,0,0)-(1,1,1), y luego he cruzado los dos para encontrar j.

Desgraciadamente, no sé por dónde seguir y agradecería que me orientaran. (Tampoco estoy seguro de haber encontrado los vectores unitarios ortogonales correctos).

Answer 1

Dejemos que $C(1,1,1)$ sea el centro del círculo.

Fig. 1 : plano $x+y+z=3$ se materializa en un triángulo con vértices $(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3).$

El vector normal al plano es $U=(1,1,1)$ . Tomemos un vector arbitrario $V=(1,-1,0)$ ortogonal a $U$ , aquí con la norma $\sqrt{2}$ y un vector ortogonal a ambos $U$ y $V$ es decir, el producto cruzado $W:=U \times V=(1,1,-2)$ con norma $\sqrt{6}$ . Entonces el círculo puede caracterizarse como el conjunto de puntos $M$ tal que (tenga en cuenta que hemos normalizado los vectores $V$ y $W$ ):

$$M=C+2( \cos(t)\tfrac{1}{\sqrt{2}}V+\sin(t)\tfrac{1}{\sqrt{6}}W)\tag{1}$$

(el valor $2$ delante del paréntesis representa el valor del radio).

(1) se convierte, en coordenadas :

$$\begin{cases}x&=&1+2 \cos(t)\tfrac{1}{\sqrt{2}}+2 \sin(t)\tfrac{1}{\sqrt{6}}\\ y&=&1-2 \cos(t)\tfrac{1}{\sqrt{2}}+2 \sin(t)\tfrac{1}{\sqrt{6}}\\ z&=&1- 4 \sin(t)\tfrac{1}{\sqrt{6}}\end{cases}$$