La acción del centro en el diagrama de Dynkin extendido

Question

Dejemos que $R$ sea un sistema de raíces irreducibles con una base $\Pi$ . Obtenemos el diagrama de Dynkin $D$ y el diagrama de Dynkin extendido ${\widetilde{D}}$ de $R$ con respecto a $\Pi$ . Sea $Q^\vee\subset P^\vee$ denotan el entramado de corot y el entramado de coweight, respectivamente. Se sabe que el grupo abeliano finito $P^\vee/Q^\vee$ (que es isomorfo al centro del correspondiente grupo de Lie compacto simplemente conectado) actúa sobre ${\widetilde{D}}$ .

Estoy buscando referencias en las que la acción de $P^\vee/Q^\vee$ en ${\widetilde{D}}$ se describe en detalle (preferiblemente con ejemplos, por ejemplo para un sistema de raíces del tipo $D_n$ ).

Answer 1

Quizá la mejor respuesta a esta pregunta no se encuentre en el contexto de la teoría de Lie, sino en el entorno relacionado de los grupos afines de Weyl, donde un sistema de raíces irreducible en el sentido de Bourbaki conduce a un diagrama de Dynkin extendido y al correspondiente grupo de Coxeter. Aquí los grupos abelianos finitos isomorfos $P/Q$ y $P^\vee/Q^\vee$ pueden interpretarse en la teoría de Lie como grupos fundamentales de grupos de Lie compactos afines o como centros de sus cubiertas simplemente conectadas. Pero esta interpretación puede no arrojar mucha luz sobre la cuestión planteada.

Probablemente, la primera referencia detallada es la primera parte del artículo de Iwahori y Matsumoto de 1965, que suele estar disponible en línea (aunque no en este momento) a través de numdam.org: Iwahori-Matsumoto . En particular, elaboran los detalles complicados para cada tipo de Lie, aunque esto requiere una gran cantidad de notación. Aquí, como en otras partes de la literatura (Bourbaki, por ejemplo), la notación varía mucho, pero es esencial para entender la situación.

Otra fuente (más difícil de localizar), inspirada en Iwahori-Matsumoto pero que utiliza una notación algo diferente debido a las aplicaciones sugeridas en la teoría de la representación modular, es la primera parte del escrito de la conferencia de D.N. Verma. No se publicó hasta 1975, pero refleja algunas de las charlas impartidas en la escuela de verano de Budapest de 1971 sobre grupos de Lie: Verma . Una de las ventajas de la exposición de Verma es que da cuenta de cómo el grupo abeliano finito actúa sobre el diagrama de Dynkin extendido, aunque sin ejemplos.

En ambos relatos, la atención se centra en un grupo afín de Weyl (un grupo de Coxeter) junto con un grupo afín de Weyl extendido, normalmente más grande. El grupo cociente finito resultante $\Omega$ es isomorfo al grupo fundamental anterior, pero tiene el mérito de ser un grupo explícito de transformaciones afines que preserva la alcoba fundamental (o simplex). El cierre de esta alcoba es un dominio fundamental para el grupo afín de Weyl, y los vértices están en biyección con el conjunto de reflexiones simples junto con 0, o equivalentemente con el $\ell+1$ generadores del grupo (donde $\ell$ es el rango del sistema de raíces subyacente). Mientras que $\Omega$ preserva esta alcoba, permuta el $\ell+1$ vértices de la manera descrita en los dos documentos citados. Esto realiza la acción de $\Omega$ en los vértices del diagrama de Dynkin ampliado. Aquí los elementos de $\Omega$ están en biyección natural con el minúscula pesos fundamentales (junto con 0): estos pesos corresponden a las raíces simples que tienen coeficiente 1 en la expresión de la raíz más alta y aparecen con frecuencia en la teoría de la representación.

AÑADIDO: Con respecto al tipo $D_n$ El resumen de Iwahori-Matsumoto (véase la página 19) varía naturalmente para $n$ incluso o impar (donde la estructura de $\Omega$ difiere), pero la permutación de vértices en cada caso es bastante natural aunque sea difícil de adivinar de antemano.

Answer 2

Utilización de las correspondencias $K/Ad\ K \cong T/W \cong (\mathfrak t/Q^\vee)/W \cong \mathfrak t/(Q^\vee \rtimes W) = \mathfrak t/\hat W =: A$ Puedes pensar en la alcoba de Weyl $A$ como parametrización de las clases de conjugación en el grupo de Lie compacto simplemente conectado $K$ . (Obsérvese que la penúltima igualdad sólo es válida para $K$ simplemente conectado).

$Z(K)$ actúa obviamente sobre el espacio de las clases de conjugación por multiplicación, y como $Z(K) \leq T$ podemos escoger logaritmos de $Z(K)$ dentro de $\mathfrak t$ para aplicar esta acción mediante la traducción en $\mathfrak t$ y, por lo tanto, actuar sobre $A$ por movimientos rígidos.

Los vértices (y facetas) de $A$ corresponden a los nodos del diagrama afín de Dynkin, por lo que una acción de movimiento rígido (por tanto, preservadora de ángulos) da una acción sobre el diagrama.

No me resulta obvio por qué (aparte de la clasificación) un automorfismo afín de Dynkin diaram está determinado por dónde van los vértices "centrales" (los que están en la órbita del vértice afín), pero se puede comprobar fácilmente. EDIT: Como menciona Jim Humphreys, esos vértices son los que corresponden a representaciones fundamentales minúsculas.

Así que ahora es suficiente, dado un elemento $z$ de $Z(K)$ para averiguar cuál es el vértice central correspondiente de $A$ . Supongo que eso equivale a elegir un logaritmo $X \in \mathfrak t$ con $\exp(X)=z$ y ver dónde $X$ va debajo del mapa plegable $\mathfrak t \to A$ . Me temo que este último paso es exactamente su pregunta y que esta puede ser una respuesta insatisfactoria; tal vez alguien pueda proporcionar una mejor.

Creo que la referencia canónica para estas ideas es Borel-de Siebenthal.