¿Están todas las funciones analíticas en todo el plano complejo "generadas" por los polinomios y la exponencial?

Question

Toma $S$ para ser el conjunto que contiene todos los polinomios y $e^z$ en $\mathbb C$ . Si sumamos, restamos, multiplicamos, dividimos (si el denominador es distinto de cero en todas partes) y componemos funciones en nuestro conjunto $S$ obtenemos funciones analíticas.

Mi pregunta es: ¿todas las funciones analíticas en todo el plano complejo surgen de esta manera?

Answer 1

$\int_0^z e^{w^2} dw$ es una función completa que no es elemental, así que no.

Answer 2

Como alternativa a la otra respuesta (perfectamente válida), también podemos utilizar el hecho de que una función entera puede crecer arbitrariamente en la recta real, y que las funciones generadas por $S$ (incluidas las integrales iteradas de éstas) sólo pueden crecer tan rápido como los exponenciales finitamente iterados.

Para que el argumento sea riguroso, dejemos que $e_1(x) = e^{x}$ e inductivamente $e_{k+1}(x) = e_k(e^x)$ sean las exponenciales iteradas. Ahora definamos $$ f(z)=a_0+\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{z}{k}\right)^{n_k}$$ donde $a_0 = e_1(1)=e$ y $(n_k)$ es una secuencia estrictamente creciente de números naturales elegidos de forma que $$\left(\frac{k}{k-1}\right)^{n_{k-1}}\ge e_{k}(k)$$ para todos $k \ge 2$ . Entonces $f$ es una función entera (ya que $|z/k|<1$ para $k > |z|$ la cola de la serie está dominada por una serie geométrica para cualquier $z$ ), y $f(k) \ge e_k(k)$ para todos $k\ge 1$ (ya que el $k$ -El término número uno de la serie es $\ge e_k(k)$ y todos los demás términos son positivos). Es fácil ver por inducción que cada $e_n$ está aumentando, y que $e_k(x) \ge e_m(x)$ para $k \ge m$ y todos $x\ge 0$ . Esto implica que $f(k) \ge e_k(k) \ge e_m(k)$ para todos $k \ge m$ Así que $$\limsup_{x\to\infty} \frac{f(x)}{e_k(x)} \ge 1$$ para todos $k$ .

Por otro lado, todas las funciones $g \in S$ satisfacer $$\limsup_{x\to\infty} \frac{|g(x)|}{e_2(x)} = 0,$$ y por inducción cualquier función $g$ que surge de las funciones en $S$ por $k$ operaciones (suma, multiplicación, división, composición, integración) satisface $$\limsup_{x\to\infty} \frac{|g(x)|}{e_{k+2}(x)} = 0.$$ Esto demuestra que $f$ no está en la clase de funciones enteras generadas por $S$ .