Interpretación física de la cuarta velocidad en la RG

Question

Estoy confundido acerca de la interpretación física de la cuatro-velocidad $U^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau}$ en la Relatividad General. Sé que es un vector tangente a la "línea del mundo" de una partícula, pero ¿qué significa esto más físicamente?

Por ejemplo, me siento cómodo con lo que $U^\mu$ significa en la Relatividad Especial. En su marco inercial, usted cubre una distancia $\Delta x^\mu$ y tu reloj dice la hora $\Delta \tau$ ha pasado, y tomando el límite como $\Delta \tau \to 0$ esto define su $U^\mu$ .

Pero no estoy seguro de lo que $U^\mu$ significa en el espacio curvo, o incluso en un marco de referencia acelerado. En cualquiera de los dos casos, el marco ya no es un marco inercial, lo que hace que la interpretación sea confusa $\tau$ porque ya no es el "tiempo propio en un marco", no hay un marco en el que estemos trabajando.

Answer 1

No hay ninguna diferencia entre la interpretación de la cuádruple velocidad en la relatividad especial y la relatividad general. Una forma de enunciar el principio de equivalencia es que, localmente, la RG se reduce a la RS.

Aunque es cierto que expresiones como $\Delta x^\mu$ no tienen sentido en la RG para diferencias de coordenadas finitas (el desplazamiento no es un vector), las diferencias infinitesimales sí tienen sentido. Para un tratamiento de este estilo, véase Nowik y Katz, Differential geometry via infinitesimal displacements, http://arxiv.org/abs/1405.0984 .

Answer 2

Las partículas aceleradas no tienen un marco de referencia inercial "fijo". Sin embargo, podemos definir infinitos marcos de referencia momentáneos (MCRF) en cada evento. Todos ellos están relacionados entre sí a través de simples rotaciones. Por lo tanto, la cuarta velocidad en cada evento es la componente temporal de la base del MCRF de ese evento. A medida que la partícula se acelera, su MCRF seguirá cambiando y también lo hará su cuatravelocidad.

Answer 3

La velocidad 4 se define como normalizada, es decir:

$g_{\mu\nu}u^{\mu}u^{\nu}=-1 \; ,$

por lo que si se eligen observadores comoving, para los que $u_i=0$ entonces $u_{0} = \frac{1}{\sqrt{|g_{00}|}}$ .

De la fórmula anterior se puede leer la diferencia entre el tiempo percibido por el observador comoving y el tiempo propio, en efecto $\frac{dx^0}{d\tau} = \frac{1}{\sqrt{g_{00}}} \rightarrow d\tau^2 =g_{00}dx^0$ .

esto debería aclarar qué tipo de marco debe considerar en su sentencia: " tiempo propio en un marco", no hay un marco en el que estemos trabajando".

Answer 4

La "tangente a una curva en una colector" es por definición un vector con componentes dadas en coordenadas $x^\mu$ por: $$v^\mu=\frac{dx^\mu}{d\lambda},$$ en la que la presentación en coordenadas de la curva viene dada por las funciones $x^\mu(\lambda).$ Así pues, las componentes del vector tangente en cualquier coordenada y en cualquier colector tienen la misma interpretación: te indican la rapidez de las coordenadas del punto $P$ "mover" al lado de la curva cambiar como el parámetro de la curva cambia. Es decir, si quiero mover el punto $P$ a lo largo de la curva por una cantidad muy pequeña $\epsilon$ del parámetro de la curva, el punto desplazado tendrá ahora coordenadas $\left.x^\mu\right|_{\text{of }P_\text{moved}}=\epsilon v^\mu+\left.x^\mu\right|_{\text{of }P_\text{original}}$ .

STR y GR sólo dan sentido físico a los ingredientes. El primer ingrediente es dar un significado a la curva - ahora la curva representa el movimiento de un objeto real y la llamaremos línea salvaje.

El segundo ingrediente es dar una parametrización significativa a la línea del mundo utilizando el tiempo adecuado. Es decir, parametrizar el movimiento del objeto por el tiempo transcurrido en el propio reloj del objeto.

En el marco no inercial esto es tan buena parametrización como en el marco de reposo de los objetos. Sólo tienes que mirar los relojes de los objetos en lugar de los tuyos. Así que si estás observando, por ejemplo, a un astronauta con un reloj en la mano y utilizas unas coordenadas (aleatorias), entonces obtienes las componentes de su 4-velocidad en tus coordenadas escribiendo en qué coordenadas se encuentra el astronauta en el tick (del reloj del astronauta) en cuestión (llamémoslo tick 1) ( $x^\mu_1$ ) y anotando las coordenadas en el siguiente tick del reloj del astronauta (llamémoslo tick 2) ( $x^\mu_2$ ) y utilizando la fórmula de la velocidad de la escuela secundaria: $$v^\mu=\frac{x^\mu_2-x^\mu_1}{\text{tick}_2-\text{tick}_1},$$ asumiendo que el tick es lo suficientemente pequeño como para que podamos utilizar la fórmula finita con suficiente precisión.

En su marco inercial, usted cubre una distancia

En tu propio marco nunca cubrirás ninguna distancia (espacial). El único movimiento no trivial que puedes observar viene dado por otros objetos con marcos de reposo diferentes.

lo que hace que la interpretación sea confusa $\tau$ porque ya no es el "tiempo propio en un marco", no hay un marco en el que estemos trabajando

El tiempo propio del observador acelerado en cada momento está definido por el marco inercial en el que el observador está en reposo en el tiempo dado. Así es como funciona la STR. La cuestión podría ser si este tiempo es medible, de modo que no acabemos construyendo una teoría formulada en función de un tiempo que se desprende de cada cantidad medida (como ocurría con el tiempo absoluto newtoniano en la teoría de Lorentz). Por lo que sabemos, el tiempo propio del observador acelerado sí puede medirse.

Así que lo único que necesitamos es preguntar al fabricante del reloj si puede garantizar su correcto funcionamiento en el rango de aceleraciones que estamos considerando. Si puede, seguimos comprobando el reloj de los astronautas para determinar la velocidad 4. En este sentido, nada cambia.