¿Período de una función?

Question

Estoy intentando averiguar el periodo de una función pero esta función me da una respuesta diferente a la que esperaba: \begin{equation*} f(x) = |\sin x| + |\cos x| . \end{equation*} Sé que para encontrar el período de $\sin$ y $\cos$ utilizamos la fórmula $2\pi/ |n|$ , donde $n$ es el coeficiente de $x$ . Ya que esta pregunta contiene el valor absoluto de sin n cos , por lo que los periodos respectivos se reducirán a la mitad . Así que, según yo, la respuesta a esta pregunta debería ser $\pi$ pero no lo es. Su respuesta es $\pi/2$ . Por favor, explique. Gracias.

Answer 1

De hecho, el período de $|\sin x|$ es $\pi$ y el período de $|\cos x|$ también es $\pi$ . Esto significa que, para cada $x$ , usted tiene

$$f(x+\pi)=|\sin(x+\pi)| + |\cos(x+\pi)| = |\sin x| + |\cos x| = f(x)$$

por lo que parecería que $\pi$ es el período de $f$ ¿verdad?

Equivocado . El período de una función se define como el El más pequeño constante para la que $f(x+c)=f(x)$ para todos los valores de $x$ . Por ello, la función $\sin x$ tiene un periodo de $2\pi$ y no, digamos, $26\pi$ aunque sabemos que $\sin(x+26\pi)=\sin x$ para todos los valores de $x$ .

Esto significa que todavía hay que encontrar el período de $f$ . Sólo se sabe que el período será alguna fracción de $\pi$ (porque $\pi$ es un "período candidato"), pero no excluyó la posibilidad de que el período sea $\frac\pi n$ para algunos $n$ .

Para ver cuál es el período real de $f$ es, le aconsejo que trace su función en $[0,\pi]$ . En primer lugar, trazarlo en $[0,\frac\pi 2]$ , donde $\sin x, \cos x\geq 0$ y, a continuación, en $\frac\pi2, \pi]$ , donde $\cos x \leq 0$

Answer 2

Si el período de una función, $f(x)$ es $\dfrac{2\pi}{k}$ para algún número entero, $k$ entonces el valor de $k$ será fácilmente evidente cuando se grafique la ecuación polar $r = f(\theta)$ . A continuación se muestra un gráfico de $$r = |\cos \theta| + |\sin \theta|.$$

Debería ser evidente que el período es $\dfrac{2\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$

En realidad, esto no demuestra que el periodo sea $\dfrac{\pi}{2}$ . Esto es un comienzo.

\begin{align} f\left( x + \dfrac{\pi}{2} \right) &= \left|\cos\left( x + \dfrac{\pi}{2} \right)\right| + \left|\sin\left( x + \dfrac{\pi}{2} \right)\right| \\ &= \left| \cos(x) \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - \sin(x) \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \right| + \left| \sin(x) \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + \cos(x) \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \right| \\ &= |-\sin(x)| + |\cos(x)| \\ &= f(x) \end{align}

Answer 3

El valor máximo de la función es $2$ . Se obtiene en $/4, 3/4.....$ .