Supongamos que tenemos un paraboloide M, imagen de $f:[0,2\pi) \times [0,1]\to\mathbb R^3$ definido por $f(t,r)=(r\cos(t),r\sin(t),r^2)$ . A continuación, identificamos los puntos antípodas de los círculos horizontales $S_r=\{t\in [0,2\pi):(r\cos(t),r\sin(t),r^2)\}$ . Es el cociente $\tilde {M}$ ¿un colector liso? En particular, no estoy seguro de si $\tilde {M}$ es localmente $\mathbb R^2$ en $(0,0,0)$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}$ En una palabra, "sí". Para empezar con una analogía, consideremos la relación de equivalencia $z \sim -z$ en el plano complejo. El mapa de cuadratura $z \mapsto z^{2}$ puede verse como un mapa suave hacia el cociente, y la imagen, el plano complejo, es una variedad suave. (Para trasladar esto al paraboloide, veamos el paraboloide como la gráfica de $z \mapsto |z|^{2}$ .)
El aspecto presuntamente confuso de este ejemplo es que el mapa $$ (r\cos t, r\sin t, r^{2}) \mapsto (r\cos(2t), r\sin(2t), r^{2}) $$ no es suave en el origen. El mapa de cuadratura corresponde en cambio a $$ (r\cos t, r\sin t, r^{2}) \mapsto (r^{2}\cos(2t), r^{2}\sin(2t), r^{4}). $$
Por separado, nótese que en la situación análoga de la gráfica de $f(x) = \|x\|^{2}$ (con $x$ que denota un punto de $\Reals^{n}$ , $n > 2$ ), el espacio del cociente es no un colector en el origen: En este caso, el "enlace" del origen es el $(n - 1)$ -espacio proyectivo de dimensiones, no el $(n - 1)$ -Esfera de dimensiones.
