Estabilidad de un punto de equilibrio

Question

Me gustaría determinar la estabilidad del punto de equilibrio $x=0$ de la ecuación diferencial $$\frac{dx}{dt}=x-\sqrt{x}, \\ x(t) > 0$$ Por el procedimiento de prueba estándar, calculé $f'(x)$ como $1-\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}$ . Enchufando $x=0$ en el $f'(x)$ da $f'(0)=1>0$ . Entonces tenemos $x=0$ es inestable.

Sin embargo, cuando trazo el campo de la pendiente del DE.

Encontré que las trayectorias se acercan realmente $x=0$ . ¿Por qué?

Answer 1

No es necesario calcular $f'(t)$ , ya tienes esta expresión dada por la ecuación diferencial. Como este sistema es invariante en el tiempo, sólo hay que calcular $x-\sqrt{x}=0$ que tiene soluciones en $1$ y $0$ como se puede ver en su parcela.
Porque $x-\sqrt x$ será negativo entre $0$ y $1$ y positivo después, se deduce que las trayectorias se acercarán a cero desde arriba y divergirán desde uno. Esto se confirma de nuevo con su gráfico.
Puede trazar $x-\sqrt x$ y ver qué valores va a tomar la derivada. Si es negativa, la derivada será negativa y por tanto las trayectorias se dirigirán hacia abajo, si es positiva, irán hacia arriba. En los ceros de esta función tendrás los puntos de equilibrio, y observando los valores negativos y positivos de la gráfica, podrás saber la naturaleza de las trayectorias.