Definición 10.3 de PMA Rudin

Question

Es un extracto del libro de Rudin. No puedo entender los siguientes momentos:

1) ¿Por qué considera una función continua con soporte compacto? ¿Por qué la compacidad es tan importante?

2) ¿Por qué tiene sentido la ecuación (3)? Por qué $f$ es cero en el complemento de $I^k$ ?

3) Por qué la integral en (3) es independiente de la elección $I^k$ ? Para mí no es evidente.

¿Puede alguien dar una respuesta a mis preguntas anteriores? Se lo agradecería mucho.

Answer 1

Básicamente, la respuesta a 1) es que la integral de Riemann está definida sólo en rectángulos, por lo que hay que poder encerrar el conjunto de puntos $x$ donde $f(x)\ne 0$ en un rectángulo gigante y luego integrar sobre ese rectángulo. Eso es lo que está haciendo con la integral sobre el $k$ -célula $I^k$ . No estoy seguro de lo que quieres decir con 2); la respuesta a 2) debería ser la respuesta a 3). Considera dos rectángulos cualesquiera (o $k$ -) que contiene el soporte de $f$ . En cualquier subrectángulo contenido en uno de esos rectángulos pero no en el otro, tenemos $f=0$ , por lo que la integración de $f$ sobre ese subrectángulo dará $0$ .