Límite multivariable de $\sqrt{x^2+y^2} \sin (\frac{1}{x^2+y^2})$

Question

Encontrar el límite multivariable de $$\lim \limits_{(x,y) \rightarrow (0,0) }\sqrt{x^2+y^2} \sin \left(\frac{1}{x^2+y^2}\right)$$ El límite es obviamente cero, pero mi pregunta es cómo simplificarlo un poco más para que sea más evidente.

Answer 1

Observe que $$0 \leq \sqrt{x^2+y^2} \left| \sin \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right) \right| \leq \sqrt{x^2+y^2}$$ y apretando...

Answer 2

Si te entiendo bien, lo que buscas es simplificar la expresión, (ya que sabes que obviamente es cero), pasando a coordenadas polares:

$$\lim_{r\rightarrow 0}r\times \sin\left(\frac{1}{r^2}\right)$$ Configurar $u=1/r$ : $$\lim_{u\rightarrow \infty}\frac {\sin(u^2)}{u}$$

Y como $\sin(x)$ está siempre entre $-1$ y $1$ ...