Una prueba sin características de que la acción de un grupo algebraico conexo $G$ en el grupo fundamental de un $G$ -la variedad es trivial

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo algebraico (no necesariamente lineal) definido sobre una campo algebraicamente cerrado $k$ , actuando sobre una integral suave $k$ -variedad $X$ . Sea $x_0\in X(k)$ y que $\pi_1(X,x_0)$ denotan el étale (de Grothendieck) grupo fundamental de $X$ . Supongamos que $G$ fija $x_0$ o el grupo $\pi_1(X,x_0)$ es abeliano. En ambos casos $G(k)$ actúa sobre $\pi_1(X,x_0)$ . Necesito una prueba de que si $G$ es conectado entonces esta acción es trivial.

Conozco una prueba en la característica 0. En este caso por el principio de Lefschetz podemos suponer que $k=\mathbf{C}$ y podemos considerar la acción de $G(\mathbf{C})$ en el grupo fundamental topológico $\pi_1^{\mathrm{top}}(X(\mathbf{C}),x_0)$ . Sea $g\in G(\mathbf{C})$ . Desde $G$ está conectado, podemos conectar $g$ con el elemento unitario $e\in G(\mathbf{C})$ por un camino continuo. Vemos que el automorfismo $g_*\colon X(\mathbf{C})\to X(\mathbf{C})$ es homotópico al automorfismo de identidad. Se deduce que el automorfismo inducido de $\pi_1^{\mathrm{top}}(X(\mathbf{C}),x_0)$ es la identidad.

Me gustaría ver una prueba de que la acción es trivial en arbitrario característica.

Answer 1

Esto es falso, como se indica en la característica positiva. Por ejemplo, supongamos que la característica de $k$ es $p$ ; toma $X = \mathbb A^1_k = \mathop{\rm Spec} k[t]$ y $G = \mathbb G_{\rm m}$ . Si $a \in k^*$ y $E$ es la cubierta estándar de étale $E = \mathop{\rm Spec} k[x,t]/(x^p - x - t) \to \mathop{\rm Spec} k[t]$ de $X$ su retroceso a través de la multiplicación por $a$ es $ \mathop{\rm Spec} k[x,t]/(x^p - x - at) \to \mathop{\rm Spec} k[t]$ que no será isomorfo a $E$ en general.

Sin embargo, es cierto cuando $X$ es propio sobre $ \mathop{\rm Spec} k$ . La cuestión es que en este caso tenemos $\pi_1(X \times G, (x_0, 1)) = \pi_1(X, x_0) \times \pi_1(G, 1)$ (véase, por ejemplo, el corolario 5.6.6 en el maravilloso libro de Szamuely sobre el grupo fundamental); para ello se utiliza la hipótesis de que $G$ está conectado. La incrustación de $\pi_1(G, 1)$ correspondiente en la descomposición anterior es inducida por la incrustación $G \subseteq X \times G$ definido por $g \mapsto (x_0, g)$ . Si $\alpha \colon X \times G \to X$ es la acción, demostremos que $\alpha_*\colon \pi_1(X \times G, (x_0, 1)) \to \pi_1(X, x_0)$ coincide con el homomorfismo $\pi_1(X \times G, (x_0, 1)) \to \pi_1(X, x_0)$ inducido por la primera proyección. A partir de la fórmula anterior vemos que basta con demostrar que el compuesto $G \to X \times G \to X$ donde el primer mapa es $g \mapsto (x_0, g)$ y la segunda es la acción, induce un mapa trivial sobre grupos fundamentales. Pero el mapa es de hecho constante, porque $G$ fija $x_0$ para que esto quede claro.

Ahora arreglar $g \in G(k)$ . El compuesto $X \to X \times G \to X$ donde el primer mapa es $x \mapsto (x,g)$ y la segunda es la acción, induce la acción de $g$ en $X$ . Por otro lado, el compuesto $X \to X \times G \to X$ donde el primer mapa es $x \mapsto (x,g)$ y la segunda es la proyección, induce la identidad. Del hecho anterior, tenemos que estos dos mapas inducen el mismo homorfismo sobre grupos fundamentales, y hemos terminado.