Distancia máxima del origen a la superficie

Question

Tengo problemas para obtener la distancia máxima del origen a la superficie

$$ \frac{x^4}{16} +\frac{y^4}{81} + z^4 = 1 $$

Sabiendo que tengo que maximizar $x^2 +y^2+ z^2$ y que la restricción es la superficie anterior.

Mi lagrangiano es:

$$ L(x,y,z,\lambda) = x^2+y^2+z^2 +\lambda(1- \frac{x^4}{16} - \frac{y^4}{81} - z^4). $$

Y haciendo las derivadas parciales obtengo:

$$ \frac{\partial L}{\partial x} = 2x-\frac{x^3\lambda}{4}; \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 2y-\frac{4y^3\lambda}{81};\\ \frac{\partial L}{\partial z} = 2z-4z^3\lambda; $$

Después de conseguirlo, no sé cómo proceder para conseguir la máxima distancia.

Muchas gracias.

Answer 1

A partir de ahí tienes un sistema de cuatro ecuaciones, por lo que puedes utilizar la sustitución para eliminar variables y resolverlo.

$2x-\frac{x^3\lambda}{4}=0 \\ 2y-\frac{y^3\lambda}{81}=0 \\ 2z-4z^3\lambda=0 \\ \frac{x^4}{16}+\frac{y^4}{81}+z^4=1$

Usando la tercera:

$2z-4z^3\lambda = 0 \\ 1-2z^2\lambda=0 \\ \lambda=\frac{1}{2z^2}$

Introduciendo esto en la primera ecuación:

$2x-\frac{x^3}{8z^2}=0 \\ 16z^2=x^2 \\ 4|z|=|x|$

Utilizando el valor de $\lambda$ en la segunda ecuación:

$2y-\frac{y^3}{162z^2}=0 \\ 324z^2 = y^2 \\ 18|z|=|y| $

A continuación, poniendo todos los valores en términos de z en la última ecuación:

$ \frac{(4z)^4}{16}+\frac{(18z)^4}{81}+z^4=1 \\ 16z^4+1296z^4+z^4=1 $

$ 1313z^4 = 1$

$z=\pm\frac{1}{{}^4\sqrt{1313}}, y = \pm\frac{18}{{}^4\sqrt{1313}}, x=\pm\frac{4}{{}^4\sqrt{1313}} $

Por favor, vuelva a comprobar mis cálculos, parece que son correctos, pero no estoy seguro.