Cómo diagonalizar un $N\times N$ ¿Matriz simétrica? ( $N>3$ , mostrar un ejemplo de $N=5$ )

Question

El ejemplo y la teoría básica ayudarán. Estas cosas se pueden hacer para $3\times 3$ fructífera, pero el problema surge después $N\ge 5$ . La teoría básica será útil (si se publica), ya que ayudará a generalizar a cualquier situación de malestar (utilizando conceptos de nivel superior, por supuesto).

Answer 1

Para su matriz $A$ , encuentre todos los valores propios y los correspondientes vectores propios, entonces deje que $P$ sea la matriz cuyas columnas son los vectores propios de $A$ entonces $P^{-1}AP=D$ , donde $D$ es diagonal, y las entradas diagonales de $D$ son los valores propios de $A$ .

Answer 2

Por ejemplo, probemos

$$ A = \left[ \begin {array}{ccccc} 3&-2&1&2&-2\\ -2&-1&0&0 &2\\ 1&0&1&-1&-3\\ 2&0&-1&1&-2 \\ -2&2&-3&-2&-1\end {array} \right] $$

Su polinomio característico es $P(\lambda) = \det( \lambda I - A) = \lambda^5 - 3 \lambda^4 - 33 \lambda^3 + 41 \lambda^2 + 96 \lambda - 6$ que resulta ser es irreducible. El polinomio no es solucionable mediante radicales.

Ahora un vector propio para el valor propio $r$ es un vector en el espacio nulo de $A - r I$ . Quiero hacer mis cálculos de forma simbólica. Un truco es sólo mirar la parte superior $4$ filas de $A - rI$ y la reducción de filas. Encontramos que un vector en el espacio nulo es $$ \left[ \begin {array}{c} -2\,{r}^{3}-9\,{r}^{2}+20\,r+15 \\ 2\,{r}^{3}-6\,{r}^{2}+8\,r-12 \\ -3\,{r}^{3}+9\,{r}^{2}+19\,r-9 \\ -2\,{r}^{3}+5\,{r}^{2}-6\,r-21 \\ {r}^{4}-4\,{r}^{3}-8\,{r}^{2}+18\,r+9\end {array} \right] $$ Normalizar dividiendo por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados, que (después de simplificar con $P(r)=0$ ) resulta ser $$ \sqrt{1266\,{r}^{4}-3300\,{r}^{3}-1140\,{r}^{2}+5772\,r+666}$$ ...