Hay $N$ cubos.
Cada segundo añadimos una nueva bola a un cubo aleatorio, por lo que en $t=k$ Hay un total de $k$ bolas colectivamente en los cubos.
En $t=1$ esperamos que al menos un cubo contenga una bola.
En $t=\sqrt{2N\ln{2}}$ Debido a la paradoja del cumpleaños, esperamos que al menos un cubo contenga dos bolas.
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En $t=f(m)$ esperamos que al menos un cubo contenga $m$ bolas.
¿Cuál es la función $f(m)$ ?
En primer lugar, para $m = 2$ el tiempo previsto $f(2)$ en el que al menos un cubo contiene dos bolas es no $t = \sqrt{2N\ln 2}$ . Ese es el momento $t$ en la que la probabilidad de que haya al menos un cubo con dos bolas cruza $\frac12$ . El tiempo real previsto $t$ en el que al menos un cubo contiene dos bolas es en cambio dado por $$\begin{align} 1 + Q(N) &= 1 + 1 + \frac{N-1}{N} + \frac{(N-1)(N-2)}{N^2} + \cdots + \frac{(N-1)(N-2) \cdots 1}{N^{N-1}} \\ &\sim \sqrt{\frac{\pi N}{2}} + \frac{1}{3}+\frac{1}{12}\sqrt{\frac{\pi}{2N}}-\frac{4}{135N}+\cdots \end{align} $$ donde el $\sim$ denota que estas son las asintóticas precisas.
(Ligeramente relacionado: esta pregunta y los métodos de análisis asintótico en este .)
Para $m = 3$ , ver esta pregunta donde se demuestra que la respuesta es $$ f(3) = \int_0^\infty \left(1+{x\over N}+{x^2\over2N^2}\right)^N \,e^{-x}\,dx $$ que tiene una asintótica $$ f(3) \sim 6^{1/3}\,\Gamma(4/3)\, N^{2/3} \approx 1.6226\,N^{2/3}. $$
En general $m$ En la pregunta anterior también se dice que la respuesta anterior se generaliza a
$$f(m) \sim \sqrt[m]{m!}\ \Gamma(1 + 1/m)\ N^{1-1/m}$$
(para los fijos $m$ y asintóticamente como $N \to \infty$ ).
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