Para dos gaussianos multivariantes con matrices de covarianza $A$ y $B$ (de dimensión $n$ ) y con medias iguales, el cuadrado Distancia Hellinger viene dada por
$$ H^2 = 1 - \frac{[\det(A)\det(B)]^\frac{1}{4}}{\left[\det\left(\frac{A + B}{2}\right)\right]^{\frac{1}{2}}} $$
¿Cómo puedo demostrar que $H^2 \geq 0$ ? El hecho es conocido para la distancia de Hellinger en general, pero me pregunto cómo puedo demostrarlo para este caso especial.
Esto es lo que tengo: $H^2 \geq 0$ da
$$ \frac{[\det(A)\det(B)]^\frac{1}{4}}{\left[\det\left(\frac{A + B}{2}\right)\right]^{\frac{1}{2}}} \leq 1 $$
y por lo tanto tenemos que demostrar que
$$ \det{\left(\frac{A + B}{2}\right)} \geq \sqrt{\det(A)\det(B)}\tag{*} $$
que es una interesante desigualdad de determinantes para matrices semidefinidas positivas en sí misma. Dice que el determinante de una media aritmética de dos matrices es mayor o igual que la media geométrica de sus determinantes.
La primera relación que se me ocurrió fue:
$$ \left(\sqrt{\det(A)} - \sqrt{\det(B)}\right)^2 \geq 0 $$
lo que lleva a
$$ \det(A) + \det(B) - 2 \sqrt{\det(A)\det(B)} \geq 0 $$
y por lo tanto
$$ \det(A) + \det(B) \geq 2 \sqrt{\det(A)\det(B)}. $$
Como segunda relación podemos aplicar la siguiente desigualdad para matrices semidefinidas positivas (Abadir y Magnus, Matrix Algebra, p. 325):
$$ \det(A + B) \geq \det(A) + \det(B). $$
Esto lleva a
$$ \begin{align} \det\left(\frac{A + B}{2}\right) &= 2^{-n} \det(A + B)\\ &\geq 2^{-n} [\det(A) + \det(B)]\\ &\geq 2^{-n} 2 \sqrt{\det(A)\det(B)} \end{align} $$
y luego estoy atascado ya que no puedo deshacerme del factor $2^{-n} 2$ . ¿Hay algún error en mi intento? ¿Cómo puedo demostrar la desigualdad (*) de otra manera?
Creo que la desigualdad tomada del libro de Abadir/Magnus es demasiado fuerte para este problema. La igualdad se alcanza para el determinante cero de la suma o las matrices cero (p.326), mientras que necesitaríamos alguna desigualdad en la que la igualdad se alcance para matrices idénticas.
