doble cierre de A = cierre de A

Question

Probar: $ \bar A = \bar{\bar A} $ ,

No lo puedo traducir, pero creo que me piden que demuestre que el cierre de A es el cierre del cierre de A. La pregunta exacta es:" doble barra A = barra A".

¿Es demasiado fácil?

i) $\bar A$ se define como $A \cup A'$ donde $A'$ es el conjunto de todos los puntos límite de $A$ .

ii) $A = \bar A$ si y sólo si $A$ está cerrado.

Sabemos que $\bar A$ es definitivamente cerrada ya que está definida para tener todos los puntos límite de $A$ . así que cuando usamos la función de cierre para $\bar A$ no debería hacer nada ya que el conjunto ya está cerrado. así que $\bar{\bar A} = \overline{(\bar A )}$ pero desde el interior, $\bar A$ ya está cerrado, esto se devuelve por sí mismo. así que $\overline{(\bar A)} = \bar A $ .

Answer 1

De ii) (su ii)) si A es cerrado entonces $A=\bar A$ ya que $\bar A$ es cerrado por lo que es igual a su cierre "la doble barra de A" : $\bar A=\bar {\bar A}$

Answer 2

Su razonamiento es erróneo para $\overline{A}$ : se define para tener todos los puntos límite de $A$ , no necesariamente para $\overline{A}$ . Y cualquier conjunto $B$ es cerrado si contiene su (es decir $B$ ') los puntos límite (no sólo los de un conjunto menor).

Así que todavía tiene que demostrar que si $x$ es un punto límite de $\overline{A} = A \cup A'$ entonces $x$ está en $\overline{A}$ . Si esto se mantiene, $\overline{A}$ está efectivamente cerrado.

Así que dejemos $x$ sea un punto límite de $\overline{A}$ y supongamos (para una contradicción) que $x \notin \overline{A} = A \cup A'$ . En particular, $x \notin A$ y $x$ no es un punto límite de $A$ , por lo que hay algún barrio abierto / bola / conjunto (lo que quieras, dependiendo de tu texto) $O$ que contiene $x$ y no se cruza con $A$ (no contiene puntos de $A$ excepto posiblemente $x$ por ser un punto no límite, pero también suponemos $x \notin A$ ). Pero entonces ningún punto de $O$ puede ser un punto límite de $A$ tampoco (ni es un punto de $A$ ). Así que $O$ es disjunta de $A \cup A' = \overline{A}$ y así $x$ no puede ser un punto límite de $\overline{A}$ , lo cual es una contradicción.

Esto demuestra que $\overline{A}$ está cerrado y luego (ii) hace el resto para ver que $\overline{\overline{A}} = \overline{A}$ como usted dice.