¡Eliminación de RAA e inferencia una teoría ?!

Question

¿Puede alguien explicar el por qué si eliminamos RAA regla en el sistema de deducción natural en la lógica proposicional, por qué

~ $(p \wedge $ ~ $p)$ no es la inferencia del sistema resultante, sino ~~ $p \to p$ puede deducir de esto.

cualquier idea o pista para este tipo de preguntas es muy apreciada.

Answer 1

Asumimos la abreviatura habitual : $\lnot p$ para $p \to \bot$ .

Aquí está la prueba de $\lnot (p \land \lnot p)$ :

1) $p \land \lnot p$ --- asumido [a]

2) $p$ --- por $\land$ -eliminación

3) $\lnot p$ --- por $\land$ -eliminación

4) $\bot$ --- de 2) y 3) por $\to$ -eliminación, con la abreviatura

5) $\lnot (p \land \lnot p)$ --- de 1) y 4) por $\to$ -introducción y abreviatura, descarga [a].

La prueba no utiliza en ninguna parte RAA .

---

El RAA La regla, o regla de la prueba indirecta, puede expresarse como :

$${ \Gamma,\lnot \varphi \vdash \bot \over \Gamma \vdash \varphi }$$

y equivale a Doble negación : $\lnot \lnot p \to p$ .

---

Sobre : $(p∧ \lnot p) \to q$ podemos derivarlo de la siguiente manera :

1) $p∧ \lnot p$ --- asumido [a]

2) $p$ --- por $\land$ -eliminación

3) $\lnot p$ --- por $\land$ -eliminación

4) $\bot$ --- de 2) y 3) por $\to$ -eliminación

5) $q$ --- de 4) por $\bot$ -regla

6) $(p∧ \lnot p) \to q$ --- de 1) y 5) por $\to$ -introducción, descarga [a].

Ni esta prueba necesita RAA .