Justificación de la naturaleza de la órbita del planeta en el campo gravitatorio

Question

En la Mecánica de Kleppner, en el capítulo de la fuerza central, derivó la forma polar de la órbita para la fuerza gravitacional, como se ilustra a continuación: (las dos primeras ecuaciones se derivan de los fundamentos de la fuerza central)

A menudo nos interesa la trayectoria de la partícula, lo que significa conocer r en función de y no en función del tiempo. Llamamos a r() la órbita de la partícula. (El término se utiliza incluso si la trayectoria no se cierra sobre sí misma). Dividiendo Ecuación (9.14) por Ecuación (9.12) da:

encontramos que la ecuación de la órbita _Ecuación (9.16)_ se convierte, utilizando integrales indefinidas,

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Ahora mis preguntas:

1. por qué toma dr/dt como positivo(porque todos los términos en RHS en eq(9.12) es positivo ); es evidentemente puede ser negativo ¡y también de la conservación de la energía puede ser tanto positiva como negativa!
2. Y como ha tomado it (dr/dt) como positivo por eso el lado derecho de eq **(9.16)** ¡también es positivo! Pero ¡para una sección cónica d/dr no siempre es positiva! Es positivo para algún intervalo y negativo para algún intervalo (en realidad 50:50)! así que La ecuación(9.16) sólo es válida para ¡un cierto intervalo (según la elección de mi sistema de coordenadas); pero él (el escritor del libro) derivó la solución general no sólo para un cierto intervalo sino para el intervalo total! ¿En qué me estoy equivocando o cómo está ocurriendo esto?

Según yo algo es en la integración de la ec(9.16) El valor de la integral no se mantiene en todas partes en el intervalo de . Pero no soy capaz de entender el asunto correctamente!

Answer 1

¡Sí! No es necesario que $dr/dt$ es positivo, puede ser negativo o puede ser positivo durante algún intervalo de tiempo, y luego de nuevo positivo. Esto se puede ver en la trayectoria de los propios cometas. Cualquier cometa que esté en una trayectoria parabólica llegó al atractor (algún planeta) con $dr/dt<0$ y luego girar hacia atrás haciendo $dr/dt$ para ser positivo.

Así que puedes tomar $$\frac{dr}{dt}=-\sqrt{\cdots}$$ No hay ninguna diferencia. Pruebe usted mismo.

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Para mostrar esto, puede que quieras comprobarlo con tu resultado final $$\frac{dr}{dt}=-\frac{r_0}{(1-\epsilon\cos\theta)^2}(\epsilon \sin\theta)\frac{d\theta}{dt}$$ Como puede ver el signo de $dr/dt$ determinar por el $\dot{\theta}$ y $\theta$ . Tenga en cuenta que el signo de $\dot{\theta}$ dependen únicamente de la condición inicial (véase la relación $\dot{\theta}=l/\mu r^2).$

También encontrará que tomar $\theta_0=-\pi /2$ ¡es crucial!