desigualdad que involucra a la exponencial compleja

Question

¿Es cierto que

$$|e^{ix}-e^{iy}|\leq |x-y|$$ para $x,y\in\mathbb{R}$ ? No puedo entenderlo. Intenté buscar en la serie de la exponencial pero no me sirvió de nada. ¿Podría alguien ofrecer una pista?

Answer 1

$$|e^{ix}-e^{iy}|^2=(\cos x-\cos y)^2+(\sin x-\sin y)^2\\=2-2(\cos x\cos y+\sin x\sin y)=2-2\cos(x-y)$$

y tenemos $$1-\cos x\leq \frac{1}{2}x^2\quad \forall x\in\mathbb{R}$$