desigualdad que involucra a la exponencial compleja

Question

¿Es cierto que

$$|e^{ix}-e^{iy}|\leq |x-y|$$ para $x,y\in\mathbb{R}$ ? No puedo entenderlo. Intenté buscar en la serie de la exponencial pero no me sirvió de nada. ¿Podría alguien ofrecer una pista?

Answer 1

Una forma es utilizar $$ |e^{ix} - e^{iy}| = \left|\int_x^ye^{it}\,dt\right|\leq \int_x^y\,dt = y-x, $$ suponiendo que $y > x$ .

Answer 2

Una pista gráfica (aparentemente necesito 30 caracteres... ¿no sabe stackexchange que una imagen vale más que mil palabras?)

Answer 3

La función $u$ definido en $[0,1]$ por $u(t)=\exp(\mathrm i x+\mathrm it(y-x))$ es tal que $u'(t)=\mathrm i(y-x)u(t)$ y $|u(t)|=1$ por lo que $|u'(t)|=|y-x|$ y $|u(1)-u(0)|\leqslant\sup\{|u'(t)|;t\in[0,1]\}=|y-x|$ . Por último, hay que tener en cuenta que $u(0)=\exp(\mathrm i x)$ y $u(1)=\exp(\mathrm i y)$ .

Answer 4

Una pista: $$\begin{align}|e^{ix}-e^{iy}|^2 &= (\cos x-\cos y)^2 + (\sin x - \sin y)^2 \\ &= 2-2(\sin x \sin y +\cos x \cos y) = 2-2\cos (x-y)\end{align}$$

Para el último paso, véase ProofWiki . Ahora utilice la expansión en serie de $\cos(x-y)$ y comparar con $(x-y)^2$ .

Answer 5

Pistas: $e^{ix} -e^{iy}= e^{ix}(1 -e^{i(y-x)})$ y $|e^{ix}|=1$ . Sea $\theta=x-y$ .