En la teoría de Ramsey, el teorema de Van der Waerden afirma que
Dejemos que $k,r$ sean enteros positivos. Entonces en cada partición de los enteros positivos en $r$ hay una clase que contiene una progresión aritmética de longitud $k$ .
Esto fue demostrado por Van der Waerden en 1927.
El teorema de Rado, demostrado en 1933, dice
Dejemos que $A=\begin{pmatrix} \vec{c_1}&\vec{c_2}&\cdots \vec{c_n} \end{pmatrix}$ ser un $m\times n$ con entradas enteras y $r$ sea un número entero positivo. Llamamos al sistema de ecuaciones lineales $Ax=0$ $r$ -regular si toda partición de los números naturales en $r$ clases es tal que una de ellas contiene una solución de este sistema. Llamamos a este sistema regular si es $r$ -regular para todos $r\ge > 1$ . Entonces $Ax=0$ es regular si y sólo si existe un entero $k$ y una partición $C_1,C_2,\cdots,C_k$ de los vectores columna de $A$ tal que $\displaystyle\sum_{\vec{c_i}\in C_1}\vec{c_i}=0$ y para todos $j>1$ el vector $\displaystyle\sum_{\vec{c_i}\in > C_j}\vec{c_i}$ es una combinación lineal racional de los vectores columna de $C_1,\cdots,C_{j-1}$ .
Mi pregunta es si es posible derivar el teorema de Van der Waerden a partir del teorema de Rado eligiendo un $A$ ?
