Escrito Integrales utilizando Formas Diferenciales

Question

Considere algunas suave curva de $C \subset \mathbb{R^n}$ $\gamma:[a,b] \subset\mathbb{R}\rightarrow C$ un parametrisation de $C$ y un continuo campo de vectores $K:\mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R^n}$. Deje $\omega = K_{1}dx^{1}+...+K_{n} dx^{n}$ donde $K_{1},...,K_{n}$ son los componentes de $K$ con respecto a la norma base de la $\mathbb{R^n}$. Ahora, el siguiente se tiene: $$\int_{c}\vec{K}\cdot\vec{ds} = \int_{c}\vec{K}\cdot\hat{n}\space ds:=\int_{a}^{b}\langle K(\gamma(t)),\dot{\gamma}(t)\rangle \space dt =\int_{a}^{b}\sum_{i=1}^{n}K_{i}(\gamma(t))\space\dot{\gamma_{i}}(t)\space dt$$ where $\langle.,.\rangle$ es la norma interna del producto.

También se puede escribir la misma integral mediante un diferencial de la forma:

$$\int_{\gamma}\omega:=\int_{a}^{b}\gamma^{*}\omega=\int_{a}^{b}\omega(\gamma(t))\space \dot{\gamma}(t)\space dt =\int_{a}^{b}\sum_{i=1}^{n}K_{i}(\gamma(t))\space\dot{\gamma_{i}}(t)\space dt$$

Del mismo modo vamos a $S \subset \mathbb{R^3}$ ser una superficie lisa (2-dim submanifold) y $\phi:U\subset\mathbb{R^2}\rightarrow S$ un parametrisation de $S$. $\space F:\mathbb{R^3}\rightarrow\mathbb{R^3}$ un continuo vectorfield. Deje $\eta = F_{1}\space dx\wedge dy -F_{2}\space dx \wedge dz +F_{3}\space dy \wedge dz$ donde $F_{1},F_{2},F_{3}$ son las componentes de F con respecto a la norma base de la $\mathbb{R^3}$. Ahora, el siguiente se tiene:

$$\int_{S}\vec{F}\cdot \vec{dA} = \int_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}\space dA :=\int_{U}\langle F,\frac{\partial\phi}{\partial u}\times\frac{\partial\phi}{\partial v}\rangle\space d\mu(u,v)$$ Y de la misma Integral utilizando el diferencial de la forma: $$\int_{S}\eta:=\int_{U}\phi^{*}\eta= \int_{U}\langle F,\frac{\partial\phi}{\partial u}\times\frac{\partial\phi}{\partial v}\rangle\space d\mu(u,v)$$

Mi Pregunta es: ¿Cómo puedo expresar las siguientes integrales usando formas diferenciales?
Deje $\space f:\mathbb{R^n}\rightarrow\mathbb{R}$ $g:\mathbb{R^3}\rightarrow \mathbb{R}$ ser funciones continuas.

$$\int_{c}f\space ds := \int_{a}^{b}f(\gamma(t))\space\lVert\dot{\gamma}(t)\rVert\space dt$$

$$\int_{S}g\space dA := \int_{U} g(\phi(u,v)) \space\lVert\frac{\partial\phi}{\partial u}\times\frac{\partial\phi}{\partial v}\rVert\space d\mu(u,v)$$

La ayuda es muy apreciada.
Vicente Pfennings

Answer 1

Para una orientada a m-dimensional de Riemann colector $(M,g)$ hay una única m-formulario de $\omega$ tal que $\omega_{p}(e_{1},\ldots,e_{m})=1$ $\lbrace e_{i} \rbrace_{i=1}^{m}\subset T_{p}M$ g-ortonormales base ordenada de acuerdo a la orientación. Para una función de $f$ $M$ que es suficientemente agradable que uno define el $\int\limits_{M} f:= \int\limits_{M}f \cdot \omega$. Para un gráfico de $\phi: U \to \phi(U)=:O$ es fácil comprobar que $\phi^{*}\omega=\sqrt{\det(g(x))} dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}$ donde $g$ es la matriz de $\phi^{*}g = \sum\limits_{i,j}g_{ij}(x) dx^{i} \otimes dx^{j}$. Por lo tanto $$ \begin{aligned}\int\limits_{O}f &= \int\limits_{O}f \cdot \omega = \int\limits_{U} \phi^{*}(f \cdot \omega) \\ &=\int\limits_{U}f(\phi(x))\sqrt{\det(g(x))} dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m} \equiv \int\limits_{U}f(\phi(x))\sqrt{\det(g(x))} dx. \end{aligned}$$

Usted está tratando con submanifolds $M$ de espacio Euclidiano $(\mathbb{R}^{n},\delta)$, por lo que, naturalmente, el uso de la métrica de Riemann inducida por la restricción de la métrica Euclidiana a su submanifold, $g=\delta\big\vert_{M}$. Como $\delta=\sum\limits_{i=1}^{n}dy^{i} \otimes dy^{i}$ de las coordenadas habituales que tiene para un gráfico de $\det(g(x))=\det((D\phi(x))^{t}D\phi(x))$ donde $D\phi(x)$ es la matriz de la diferencial de $\phi$, lo que nos deja con $$ \int\limits_{O} f = \int\limits_{U}f(\phi(x))\sqrt{\det((D\phi(x))^{t}D\phi(x))} dx.$$ Para las curvas de $\gamma: I \to \mathbb{R}^{n}$ que obviamente reduce a $\det(g(t))=\Vert \dot{\gamma}(t) \Vert_{2}^{2}$, dando la fórmula que escribió. Para una superficie en $\mathbb{R}^{3}$ también da la fórmula que quieras, pero yo se lo dejo a usted para comprobar que.

Observación. Probablemente usted no está familiarizado con ciertas nociones que he utilizado aquí, ya que nadie en realidad introduce estos conceptos en el Análisis I/II en la misma generalidad. Es posible que desee buscar esas cosas si usted está realmente interesado en ciertos detalles o esperar a que el curso de Geometría Diferencial.