Diferentes formas de representar una segunda clase de cohomología

Question

Probablemente hay muchas formas de hablar de una segunda clase de cohomología (integral) de una variedad suave, cerrada y orientable $M$ de dimensión $n$ . Aquí hay algunos, con $\alpha\in H^2(M,\mathbb{Z})$ :

1. Utilizando la dualidad de Poincare, obtener una clase de homología $\hat{\alpha}\in H_{n-2}(M,\mathbb{Z})$ . Esto puede representarse mediante un submanifold $A$ .
2. $\alpha$ está representado por (la clase de homotopía de) un mapa $f:\ M\rightarrow \mathbb{CP}^\infty$ que puede ser homotopado para tener el objetivo $\mathbb{CP}^N$ , donde $2N\ge n$ . Tomando la preimagen de una (transversal) $\mathbb{CP}^{N-1}$ da un submanifiesto $B$ .
3. $\alpha$ es la primera clase de Chern de un haz de líneas complejo $\mathbb{C}\rightarrow E\rightarrow M$ . Si $s:\ M\rightarrow E$ es una sección genérica, entonces el conjunto cero de $s$ es un submanifold $C$ .

Lo que es sorprendente es que $A$ , $B$ y $C$ son todos homotópicos (iguales). He utilizado esto muchas veces, pero no creo haber visto nunca una prueba detallada de todo esto. Entiendo la configuración básica (la construcción de $f$ en 2., la configuración del haz de líneas en 3., ...), pero no sé por qué estas tres ideas dan esencialmente el mismo resultado: es decir, por qué $B$ y $C$ son efectivamente duales de Poincare para $\alpha$ . Me gustaría tener algunas referencias, esquemas de pruebas, etc.

Answer 1

Así que creo que tengo un esbozo de prueba de por qué 1) y 2) coinciden. Intentaré aportar referencias en la medida de lo posible.

Así que empezamos con una clase $\alpha \in H^2(M;\mathbb{Z})$ . Construiremos un submanifold de $M$ que es dual de Poincaré a $\alpha$ justo en el camino de la 2).

Sabemos que la cohomología es representable y que $\mathbb{C}P^\infty$ es un $K(\mathbb{Z},2)$ por lo que se asocia a $\alpha$ hay un mapa $\hat{\alpha}: M \to \mathbb{C}P^\infty$ . Desde $M$ es compacto, lo que da lugar a un mapa $M \to \mathbb{C}P^N$ para algunos $N$ suficientemente grande. La relación entre $\alpha$ y $\hat{\alpha}$ es la siguiente. Considere $\gamma$ el haz tautológico sobre $\mathbb{C}P^\infty$ y permítanme llamar a todas sus restricciones a $\mathbb{C}P^k$ También $\gamma$ . Entonces $c_1(\gamma)$ es la clase de Chern universal y genera el anillo de cohomología de $\mathbb{C}P^\infty$ . Por lo tanto, obtenemos la relación $$ \alpha = \hat{\alpha}^*(c_1(\gamma)) = c_1(\hat{\alpha}(\gamma)).$$

(Esto es sólo la explicación de por qué $\alpha$ es la clase de Chern de algún haz de líneas, pero de todos modos necesitaremos la notación más adelante).

Ahora necesitamos el siguiente hecho. A saber, consideremos el submanifold $\mathbb{C}P^{N-1} \subset \mathbb{C}P^N$ . Entonces obtenemos que $$PD(\lbrack \mathbb{C}P^{N-1} \rbrack) = c_1(\gamma) \in H^2(\mathbb{C}P^N;\mathbb{Z}).$$ Por lo tanto, en la ecuación anterior obtenemos $$ \alpha = \hat{\alpha}^*(c_1(\gamma)) = \hat{\alpha}^*(PD(\lbrack \mathbb{C}P^{N-1} \rbrack) = PD(\hat{\alpha}^*(\mathbb{C}P^{N-1}))$$ La última ecuación debe entenderse como sigue. $\hat{\alpha}^*(\mathbb{C}P^{N-1})$ debe ser una preimagen transversal de $\mathbb{C}P^{N-1}$ en $\hat{\alpha}$ y la ecuación parece ser cierta. Esto se demuestra para el caso de las variedades complejas lisas en el libro de Voisins, Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja II, en el capítulo 9, Proposición 9.21, Parte 1), pág. 263. Pero el profesor Matthias Kreck afirma que esto se puede demostrar con la ayuda de los estratifolds también en el caso topológico. La idea es más o menos la siguiente. Utilizando los estratifolds, Kreck define nuevos grupos de (co)homología singulares integrales, muestra que para los complejos CW éstos son isomorfos a la definición habitual. En esta nueva imagen, la afirmación es entonces más o menos una tautología. Se puede leer sobre esta imagen de (co)homología singular en el libro de Krecks, Differential algebraic topology, disponible por ejemplo en http://www.mathi.uni-heidelberg.de/~kreck/stratifolds/DA_22_08.pdf .

Desgraciadamente no conozco un método sencillo para demostrar (la afirmación incluso simple) que dada una inmersión de colectores $p: M \to N$ y un submanifold $B$ sur $N$ que $$ p^*(PD(\lbrack B \rbrack) = PD(\lbrack P^{-1}B \rbrack).$$ Esencialmente, esto es lo que queremos utilizar en la última ecuación del cálculo superior.

Espero que eso ayude un poco.

Answer 2

Bien, he localizado algunas referencias, etc., para todo esto.

Para demostrar que 2. funciona, me remito al teorema VI.11.16 de la obra de Bredon Topología y geometría donde se da una prueba completa.

Para demostrar que 3. funciona, me remito al teorema 5.2 de estas notas ; todo el material necesario está contenido en el libro de Bredon, pero no pude encontrar una declaración tan explícita como esa en las notas. Además, las notas son bonitas de todos modos.

Lo único que hay que hacer es mostrar cómo 2. y 3. están conectados.

Ahora bien, si $\alpha\in H^2(M,\mathbb{Z})$ entonces está representado por algún mapa (suave) $f:\ M\rightarrow \mathbb{CP}^N$ para que sea lo suficientemente alta $N$ ; este es el mapa mencionado en 2. La representación es por el pullback de la clase fundamental $u\in H^2(\mathbb{CP}^N,\mathbb{Z})$ : $\alpha=f^\ast(u)$ . Ahora $u$ es la primera clase de Chern del haz de líneas canónico (llámese $E$ ) sobre $\mathbb{CP}^N$ : $u=c_1(E)$ . Por naturalidad, tenemos $\alpha=f^\ast(c_1(E))=c_1(f^\ast(E))$ . $f^\ast(E)$ es el haz de líneas complejas mencionado en 3.