Todos los conjuntos con grupos de objetos similares

Question

Tengo $i$ tipos de objetos, y quiero construir conjuntos con $j$ ( $1 \le j \le n$ ) de los objetos ( $i \le n$ ). La posición de los objetos en el conjunto es irrelevante.

Por ejemplo, para $i=2$ (es decir, tengo dos tipos de objetos: $a$ y $b$ ) y $n=4$ . Entonces:

para $j=1$ : Dos juegos: $\{a\}, \{b\}$

para $j=2$ : Tres juegos: $\{a, a\}, \{a, b\}, \{b, b\}$

para $j=3$ : Cuatro juegos: $\{a, a, a\}, \{a, a, b\}, \{a, b, b\}, \{b, b, b\}$

para $j=4$ : Cinco juegos: $\{a, a, a, a\}, \{a, a, a, b\}, \{a, a, b, b\}, \{a, b, b, b\}, \{b, b, b, b\}$

¿Cómo puedo llegar a una fórmula para este tipo de arreglos? para cualquier $i$ y $n$ ?

Answer 1

Esto es sólo un argumento de estrella y barra.

Supongamos que tenemos objetos de $i$ y para cualquier $k \le i$ Hay $a_k$ objetos del conjunto con $j$ objetos.

Esto es suficiente para evaluar el número de soluciones de $a_1+a_2+...+a_i=j$ , el número de soluciones es exactamente ${i+j-1}\choose{j}$ . (dado por https://en.wikipedia.org/wiki/Stars_and_bars_(combinatoria) )