Ejercicio $12$ en la sección $1.6$ del libro de Nathanson : Methods in Number Theory tiene la siguiente pregunta.
- ¿Cuándo la suma de una progresión geométrica es igual a una potencia? De forma equivalente, ¿cuáles son las soluciones de la ecuación diofántica exponencial $$1+x+x^{2}+ \cdots +x^{m} = y^{n} \qquad \cdots \ (1)$$ en números enteros $x,m,n,y$ mayor que $2$ ? Comprueba que \begin{align*} 1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} & = 11^{2}, \\\ 1 + 7 + 7^{2} + 7^{3} &= 20^{2}, \\\ 1 + 18 +18^{2} &= 7^{3}. \end{align*} Estas son las únicas soluciones conocidas de $(1)$ .
Le site Enlace a Wikipedia no revela mucho sobre la pregunta anterior. Mi pregunta aquí sería preguntar lo siguiente:
- ¿Hay alguna otra solución conocida para la ecuación anterior? ¿Podemos conjeturar que esta ecuación sólo puede tener un número finito de soluciones?
Añadido: Muy bien. Había publicado esta pregunta en Mathoverflow algún tiempo después de haber posado aquí. Este usuario por nombre Gjergji Zaimi en realidad me había dado un enlace que dice más sobre esta cuestión en particular. Aquí está el enlace: