Encontrar soluciones a la ecuación de la forma $1+x+x^{2} + \cdots + x^{m} = y^{n}$

Question

Ejercicio $12$ en la sección $1.6$ del libro de Nathanson : Methods in Number Theory tiene la siguiente pregunta.

• ¿Cuándo la suma de una progresión geométrica es igual a una potencia? De forma equivalente, ¿cuáles son las soluciones de la ecuación diofántica exponencial $$1+x+x^{2}+ \cdots +x^{m} = y^{n} \qquad \cdots \ (1)$$ en números enteros $x,m,n,y$ mayor que $2$ ? Comprueba que \begin{align*} 1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} & = 11^{2}, \\\ 1 + 7 + 7^{2} + 7^{3} &= 20^{2}, \\\ 1 + 18 +18^{2} &= 7^{3}. \end{align*} Estas son las únicas soluciones conocidas de $(1)$ .

Le site Enlace a Wikipedia no revela mucho sobre la pregunta anterior. Mi pregunta aquí sería preguntar lo siguiente:

• ¿Hay alguna otra solución conocida para la ecuación anterior? ¿Podemos conjeturar que esta ecuación sólo puede tener un número finito de soluciones?

Añadido: Muy bien. Había publicado esta pregunta en Mathoverflow algún tiempo después de haber posado aquí. Este usuario por nombre Gjergji Zaimi en realidad me había dado un enlace que dice más sobre esta cuestión en particular. Aquí está el enlace:

• https://mathoverflow.net/questions/58697/

Answer 1

Me ha gustado mucho tu pregunta. La cardinalidad de las soluciones de la ecuación anterior depende exclusivamente de los valores de $m,n$ .

Permítame dividir su problema en algunos casos. Hay tres casos posibles.

1. Cuando $ m = 1 $ y $ n = 1 $ , sabes que hay infinitas soluciones.
2. Cuando $m=2$ y $n=1$ sabes que una cónica puede tener un número infinito de puntos racionales o un número finito de puntos racionales. En un sentido más amplio, se trata de curvas de género -1. Donde también se incluyen las curvas elípticas ( cuando $m=2,n=3$ o curvas hiperelípticas cuando $m=2, n\ge 4$ ) . En este caso, el número de puntos de la curva se calcula utilizando la conjetura de Birch y Swinnerton-dyer. Se obtiene una medida de la cardinalidad, ya sea infinita o finita considerando la $L$ -funciones asociadas a las curvas.
3. Cuando $m \ge 2 , n \ge 4$ puede representar alguna curva de mayor dimensión. Entonces, por el teorema estándar de Falting, tiene un número finito de puntos dado que la curva tiene género $g \ge 2$ .

Gracias. Actualizo esta respuesta una vez si encuentro algo más interesante.