Probar una matriz $A$ es de cierta forma

Question

Dejemos que $A\in M_n(\mathbb{C})$ y $A=A^3$ , demuestre que $A^2$ es de la forma $\begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ donde $1\leq r\leq n$ .
Tiene sentido. Mi pensamiento inicial fue decir que $A(A-I)=0$ así que $A=I$ ou $A=0$ . Lo cual no me llevó a ninguna parte.
Pensé en decir que $A^2$ es una proyección, porque $A^2=A^4$ y eso es todo, a partir de ahí no es difícil mostrar lo que necesito.
Por alguna razón quiero ver si hay una manera diferente de probarlo. ¿Alguna idea?

Answer 1

El polinomio $x^3-x=x(x-1)(x+1)$ aniquila $A$ para que sea diagonalizable. Por lo tanto hay una matriz invertible $P$ tal que

$$A=P\operatorname{diag}(I_p,-I_q,0)P^{-1}$$ con $p+q=r$ así que

$$A^2=P\operatorname{diag}(I_r,0)P^{-1}$$