Encontrar $\sin^3 a + \cos^3 a$ si $\sin a + \cos a$ es conocida

Question

Dado que el $\sin \phi +\cos \phi =1.2$, encontramos a $\sin^3\phi + \cos^3\phi$.

Mi trabajo hasta el momento:

(Estoy sustituyendo $\phi$ con la variable a para esto)

$\sin^3 a + 3\sin^2 a *\cos a + 3\sin a *\cos^2 a + \cos^3 a = 1.728$. (Esto viene de cubicación de la ya dada declaración con 1.2).

$\sin^3 a + 3\sin a * \cos a (\sin a + \cos a) + \cos^3 a = 1.728$

$\sin^3 a + 3\sin a * \cos a (1.2) + \cos^3 a = 1.728$

$\sin^3 a + \cos^3 a = 1.728 - 3\sin a * \cos (a) *(1.2)$

Ahora estoy atascado. ¿Qué debo hacer a continuación? Cualquier sugerencias?

Answer 1

Sugerencia: Para terminar su último paso que usted necesita para encontrar una expresión para $\sin a\cos a$ en términos de $\sin a+\cos a$. Voy a ayudar a usted aquí :

$$ (\sin un+\cos a)^2=\color{verde}{\sin^2}+2\color{#C00}{\sin\cos a}+\color{verde}{\cos^2}. $$

Estás en busca de la parte roja, tenga en cuenta que la parte verde es igual a ...

Answer 2

Nota $$ x^3+y^3 = (x+y)\left(x^2-xy +y^2\right) $$ Ahora podemos ver que si ponemos $$ x =\sin\\ y = \cos a. $$ A continuación, obtenemos $$ \sin^3a+\cos^3a = (\sin un +\cos a)\left(1-\sin\cos\right) $$ Podemos utilizar $$ (\sin un+ \cos a)^2 = 1 +2\sin\cos un $$ La combinación de todos los anteriores de rendimiento $$ \sin^3a+\cos^3a = (\sin un +\cos a)\left(1-\frac{(\sin un+ \cos a)^2-1}{2}\right) $$

Answer 3

El cuadrado $\sin a + \cos a = b$, $b^2 =\sin^2a+2\sin \cos a + \cos^2 = 1+2\sin \cos un $, así $\sin \cos un =(b^2-1)/2 $.

Answer 4

Sugerencia. Cuadrado ambos lados de la ecuación dada. Utilice el hecho de que $\sin^2\phi+\cos^2\phi=1$ para encontrar el valor de $\sin\phi\cos\phi$. Junto con el trabajo que ya han hecho, esto resuelve el problema.

Answer 5

veo que ya tiene varios indicios que apunta hacia una respuesta. voy a probar un método diferente, quizás más de uno. vamos a utilizar la formula de sumar $$\sin (a+b) = \sin a \cos b + \sin b \cos a, \cos (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$$ for $\el pecado()$ and $\cos().$

de $$\cos(t -45^\circ) = \cos 45^\circ \cos t + \sin 45^\circ \sin 45 = {1.2 \over \sqrt 2} = \cos a$$

podemos conseguir dos cosas: (i) $t = a + 45^\circ$ y (ii) $\sin^2 a = 1 - \cos^2 a = 0.28$

ahora, podemos evaluar la $$\sqrt 2 \cos t = \sqrt 2 \cos(a+45^\circ) = \cos a - \sin a \text{ and } \sqrt 2 \sin t = \sqrt 2 \sin(a+45^\circ) = \cos a + \sin a$$

cubicación y la adición de estos consigue $$ 2\sqrt 2(cos^3 t + \sin^3 t) = 2\cos a(\cos^2 a + 3 \sin^2 a) = 2*{1.2 \over \sqrt 2}(1 + 2*0.28)$$ así que, finalmente, consigue

$$ cos^3 t + \sin^3 t = 0.6*1.56 = 0.936$$