Hallar la diferencia de las funciones de techo

Question

Para $k \geq 1, 1 \leq r \leq k, t \geq 1, x \geq 1$ ¿hay un límite inferior o superior en:

$$\left\lceil \dfrac{k(t+x)}{r} \right\rceil - \left\lceil \dfrac{k(t)}{r} \right\rceil$$

editar: todas las variables $k,r,t,x$ son números enteros

Answer 1

Por supuesto $0$ es un límite inferior. No hay un límite superior porque el aumento de $x$ puede hacer que la diferencia sea tan grande como usted quiera. Podemos mejorar el límite inferior observando que el límite inferior tiene que estar en $x=1$ . Nos preguntamos entonces cómo de bajo $$\left\lceil \dfrac{k(t+1)}{r} \right\rceil - \left\lceil \dfrac{k(t)}{r} \right\rceil=\left\lceil \dfrac{kt+k}{r} \right\rceil - \left\lceil \dfrac{k}{r} \right\rceil$$ puede ser. Sabemos que $\frac {kt}r \gt 1$ de las condiciones dadas para que la diferencia sea al menos $1$ . Podemos marcar la diferencia $1$ si queremos, por lo que es el mayor límite inferior. Un ejemplo sería $t=1.01,k=2.01,r=2$ Entonces tenemos $$\left\lceil \dfrac{kt+k}{r} \right\rceil - \left\lceil \dfrac{k}{r} \right\rceil=\left\lceil \dfrac{1.01\cdot 2.01+2.01}{2} \right\rceil - \left\lceil \dfrac{2.01}{2} \right\rceil=\left\lceil \frac {4.0401}2\right\rceil-\left\lceil \frac {2.01}2\right\rceil=3-2=1$$

Añadido: dado que las variables son enteras, aún podemos conseguir una diferencia de $1$ siempre y cuando $x=1$ Sólo toma $k=r,t=1$ y el primer elemento es $2$ y el segundo es $1$ .

Answer 2

El teorema del resto dice que para dos enteros positivos cualesquiera, $q$ y $n$ se puede dividir $n$ por $q$ y obtener dos enteros únicos $d$ y $s$ para que $n = dq + s$ y $0 \le s <q$ .

Así que dejemos $kt = Mr +s$ y que $kx = Nr + w$ .

Entonces $\lceil \frac {k(t+x)}r \rceil = \lceil M + N + \frac {s+w}r\rceil= M + N + \lceil \frac {s+w}r\rceil $ .

Y $\lceil \frac {kt}r \rceil = \lceil M + \frac sr \rceil = M +\lceil \frac sr \rceil$ .

Y $\lceil \frac {k(t+x)}r \rceil-\lceil \frac {kt}r \rceil =N +\lceil \frac {s+w}r\rceil- \lceil \frac sr \rceil$

Porque $0 \le s,w < r$ $0 \le \frac sr < 1$ y $0 \le \frac {s+w}r < 2$ .

Así que $\lceil \frac sr \rceil = 0$ ou $1$ y $\lceil \frac {s+w}r\rceil = 0, 1$ ou $2$ y $\lceil \frac {k(t+x)}r \rceil-\lceil \frac {kt}r \rceil =N +\lceil \frac {s+w}r\rceil- \lceil \frac sr \rceil= N$ ou $N+1$ ou $N+2$ .

No hay un límite superior, ya que podemos hacer $N$ tan grande como se desee haciendo $x$ tan grande como queramos.

Podemos hacer $N$ tan bajo como $0$ haciendo $kx < r$ y $s+w < 1$

Ejemplo: Sea $r = 5; k = 2$ y $t=3$ .

Podemos conseguir $\lceil \frac {k(t+x)}r \rceil-\lceil \frac {kt}r \rceil = 0$ por selección $kx = 2x < 5$ y REMAINDER $2x \div 5 < 4$ . Así que... dejemos $x = 1$ entonces

$\lceil \frac {k(t+x)}r \rceil-\lceil \frac {kt}r \rceil =$

$\lceil \frac {2(3+1)}5 \rceil-\lceil \frac {2\cdot3}5 \rceil =$

$\lceil \frac 85\rceil - \lceil \frac 65 \rceil = 2 - 2 = 0$ .

Y queremos elegir $N$ tan grande como queramos podemos conseguir $\lceil \frac {k(t+x)}r \rceil-\lceil \frac {kt}r \rceil \ge N$ dejando $\frac {kx}r \ge N$ es decir $x \ge \frac {rN}k$ .

Así que si $x = \frac 52 10^{1000}= 5^{1001}2^{999}$ nos encontramos con que:

$\lceil \frac {k(t+x)}r \rceil-\lceil \frac {kt}r \rceil=$

$\lceil \frac {2(3+5^{1001}2^{999})}5 \rceil-\lceil \frac {2\cdot3}5 \rceil=$

$\lceil \frac 65 + 10^{1000}\rceil - \lceil \frac 65 \rceil =$

$(10^{1000} + 2) - 2 = 10^{1000}$ .

Answer 3

Podemos encontrar enteros no negativos $p,q,v,w$ para que \begin{align*} kt&=pr+v\qquad 0\leq v<r\\ kx&=qr+w\qquad 0\leq w<r \end{align*}

Obtenemos \begin{align*} \color{blue}{\left\lceil\frac{k(t+x)}{r}\right\rceil-\left\lceil\frac{kt}{r}\right\rceil} &=\left\lceil\frac{pr+v+qr+w}{r}\right\rceil-\left\lceil\frac{pr+v}{r}\right\rceil\\ &=p+q+\left\lceil\frac{v+w}{r}\right\rceil-p-\left\lceil\frac{v}{r}\right\rceil\\ &=q+\left\lceil\frac{v+w}{r}\right\rceil-\left\lceil\frac{v}{r}\right\rceil\\ &\,\,\color{blue}{=\begin{cases} q&w=0\\ q+1&w>0,v=0\\ q&w>0,v>0,v+w\leq r\\ q+1&v+w>r \end{cases}} \end{align*}