Aplicaciones favoritas del lema de Nakayama

Question

Inspirado en una pregunta reciente sobre el nilradical de un anillo absolutamente plano, ¿cuáles son algunas de sus aplicaciones favoritas del Lemma de Nakayama? Sería bueno que también expusieras una prueba del resultado. También me interesa que el lema de Nakayama demuestre algunos hechos de la geometría algebraica, si es posible. Aquí hay algunos hechos que uno puede utilizar el lema de Nakayama para demostrar.

1. Un anillo local absolutamente plano es un campo - prueba dada aquí .
2. Cada conjunto de $n$ - generadores para un módulo libre de rango $n$ es una base - prueba dada aquí .
3. Para cualquier dominio integral $R$ (que no es un campo) con el campo de la fracción $F$ Nunca se da el caso de que $F$ es un f.g. $R$ - módulo. Prueba de esbozo: si $F$ es f.g. como un $R$ - entonces ciertamente es f.g. como un $R_{\mathfrak{m}}$ para cualquier ideal maximal $\mathfrak{m}$ . Entonces $\mathfrak{m}_{\mathfrak{m}}F = F$ y por lo tanto el Lemma de Nakayama implica $F = 0$ lo cual es ridículo.

Answer 1

Dejemos que $A$ sea un anillo conmutativo y $M$ un edificio finitamente generado $A$ -módulo. Entonces todo endomorfismo suryente $f:M\to M$ es inyectiva .
Este resultado (debido a Vasconcelos) es sorprendentemente válido en toda su generalidad, sin ninguna suposición de noeterismo, y utiliza crucialmente a Nakayama en su demostración:

El truco está en considerar $M$ también como $A[X]$ -Módulo a través de la multiplicación $P(X)\cdot m=P(f)(m)$ de modo que, por ejemplo $(X^3-X)\cdot m=f^3(m)-f(m)$ .
La suposición de subjetividad se traduce en $M=IM$ , donde $I$ es el ideal $I=(X)\subset A[X]$ .
Nakayama entonces dice que para algunos $i=Q(X)X\in I$ tenemos $m=i\cdot m$ para todos $m\in M$ .
[No hace falta decir que desde $M$ está generada finitamente sobre $A$ Es decir, es a fortiori generado finitamente sobre $A[X]$ para poder invocar legítimamente a Nakayama].
Y ahora la inyectividad de $f$ es lo siguiente: si $f(m)=0$ tenemos sucesivamente $$m=i\cdot m=Q(X)X\cdot m=Q(f)(f(m))=Q(f)(0)=0$$ para que $m=0$ lo que demuestra la inyectividad de $f$ .

Answer 2

Nunca recuerdo dónde se utiliza, pero sí he conseguido retener una sencilla aplicación que se desprende directamente de la afirmación.

Si $I$ es un ideal finitamente generado de un anillo (con identidad) tal que $I^2=I$ entonces $I$ es un anillo con identidad .

Tal vez me sorprendan demasiado los teoremas que concluyen que un rng tiene una identidad :)

Answer 3

He aquí un resultado en Geometría Algebraica que puede ser una aplicación de Nakayama:

Dejemos que $X$ sea un esquema noetheriano y $\mathscr{F}$ una gavilla coherente. Entonces $\mathscr{F}$ es invertible si y sólo si existe alguna gavilla coherente $\mathscr{G}$ tal que $\mathscr{F}\otimes\mathscr{G}=\mathcal{O}_X$ .

Answer 4

Dejemos que $A$ sea un anillo noetheriano. $\mathfrak{a} \subset A$ un ideal y $M$ sea una entidad finitamente generada $A$ -Módulo. Sea $N = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \mathfrak{a}^nM$ . Entonces existe $x \in A$ tal que $x \equiv 1 \mod\mathfrak{a}$ con $x \cdot N = (0)$ . En particular, si $x \in rad(A)$ , entonces es $N=(0)$ .

Corollar Dejemos que $A$ sea un dominio integral noetheriano. $\mathfrak{a} \subset A$ un ideal con $\mathfrak{a} \neq A$ . Entonces sostiene

$\bigcap_{n \in \mathbb{N}} \mathfrak{a}^n = (0)$

(prueba por el lema de Artin-Rees y el lema de Nakayama)

Answer 5

Quizá le interese este . Contiene algunas aplicaciones del Lemma de Nakayama en Álgebra Conmutativa y Geometría Algebraica.