Escritura de integrales triples en coordenadas esféricas sobre regiones no esféricas/no cónicas

Question

Definición de los límites superior e inferior de integración para $\rho$ , $\theta$ y $\phi$ es relativamente fácil cuando se escribe una integral triple en coordenadas esféricas si la región de integración está definida por esferas y/o conos centrados en el origen. Sin embargo, esto se vuelve más complicado cuando la región está delimitada por cualquier otro tipo de superficie, como un cilindro o un paraboloide.

El siguiente es un ejemplo que encontré recientemente, y no puedo averiguar cómo representar los límites superior e inferior de $\rho$ :

Esto es lo que se me ha ocurrido hasta ahora:

$\iiint\limits_E\mathrm{d}V=\int_{\arcsin(\frac{1}{\sqrt{6}})}^{\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^\sqrt{6} \rho^2 \sin(\phi)\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi + \int_{\pi}^{\arcsin(\frac{1}{\sqrt{6}})}\int_0^{2\pi}\int_0^{\textbf{???}} \rho^2 \sin(\phi)\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$

¿Cómo se puede encontrar la ecuación para $\rho$ en el segmento de la región de integración donde se encuentra con los lados del cilindro?

Answer 1

$$x^2+y^2=1\to x^2+y^2+z^2=1+z^2\to\rho^2=1+\rho^2\cos^2\phi\to\rho^2=\frac{1}{\sin^2\phi}$$

Answer 2

Una pista: ver el triángulo rectángulo con ángulo $\phi$ .

Answer 3

PRIMERA EDICIÓN: Accidentalmente tomó el doble del área deseada. Ahora revisado.

SEGUNDA EDICIÓN Se han corregido dos errores: (i) se ha olvidado el jacobiano para $V_{2}$ y (ii) tenía a las integrales invertidas (con las formas diferenciales en el orden correcto)

Así que, ¡aquí hay otro enfoque!

Lo primero que hay que tener en cuenta es que esto es independiente del acimut y podemos reducirlo inmediatamente a un problema bidimensional (¿tal vez esto ayude?)

Ahora se puede observar el doble del tamaño de la región (simétrica respecto a $z=0$ ) y dividirlo en 3 regiones, dos de las cuales son iguales (donde $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{6}$ sobre el cual nuestros límites serán invariables; es decir, la distancia máxima en la dirección radial es constante. Para este problema, llamemos a esto $V_{1}$ y para la región donde esta distancia máxima está cambiando, llamémosla $V_{2}$ .

Conseguimos que una región tenga $V_{1} = \oint_{V_{1}} r^2 \sin(\theta)\; dr\; d\theta\; d\phi = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\arcsin(1/\sqrt{6})}\int_{0}^{\sqrt{6}} r^2 \sin(\theta)\; dr\; d\theta\; d\phi$ y el otro $V_{2} = \int_{0}^{2\pi}\int_{\arcsin(1/\sqrt{6})}^{\pi-\arcsin(1/\sqrt{6})}\int_{0}^{\sqrt{1+6\cos^2(\theta)}}r^2 \sin(\theta)\; dr\; d\theta\; d\phi$ .

Concluimos afirmando que $V = \frac{1}{2}\cdot (2V_{1}+V_{2})$ .