Encuentre las derivadas parciales de $f (x,y) = x^2\sin(1/x)+y^2$ en (0,0)

Question

Encuentre las derivadas parciales de $f (x,y) = x^2\sin(1/x)+y^2$ en $(0,0)$

¿Es esta función diferenciable en el origen? $$f(x,y) = x^2\sin(1/x)+y^2 \quad \text{if $ (x,y) \N - 0 $} $$ $$ = y^2 \qquad \text{if $ (x,y) = 0 $} $$

Encontré que $$\frac{df}{dx} =2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$$ $$\frac{df}{dy} =y^2$$

df/dy(0,0) es fácil es df/dy=0^2=0

Pero df/dx(0,0) es un poco más complicado ya que $\sin(1/x)$ es indefinido en x=0 quizás puedo usar el teorema de squeeze para decir que el límite de df/dx a medida que se acerca a x=0 es 0 pero ese sería el límite y no df/dx(0,0)

¿Cómo puedo encontrar $\frac{df}{dx}(0,0)$

Answer 1

Usando lo que tienes: $$ f(x,y) =\left\{ \begin{aligned} &x^2\sin(1/x)+y^2 \quad &\text{if} \quad &(x,y) \ne (0,0) \\ &y^2 \qquad &\text{if} \quad &x=y=0 \end{aligned}\right. $$

Aplicando la definición de límite de la derivada se obtiene: $$ \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^2 \sin(1/h)+0^2}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}h \sin(1/h)\\ &=0. \end{aligned} $$

Este límite es cero, por lo que $f_x(0,0)=0$ .

Answer 2

El problema correcto es seguramente $f(x,y) = x^2\sin(1/x) + y^2, x \ne 0,$ $f(x,y) = y^2, x = 0.$ Entonces para $x\ne 0,$ $f(x,0) = x^2\sin(1/x).$ Por lo tanto, $\partial f/\partial x (0,0) = 0.$ Desde $f(0,y) = y^2,$ vemos fácilmente $\partial f/\partial y (0,0) = 0.$

En cuanto a la diferenciabilidad: Definir $g(x)$ en $\mathbb {R}$ por $g(x)= x^2\sin(1/x), x \ne 0, g(0) = 0.$ Entonces $g$ es diferenciable en $\mathbb {R}.$ Por lo tanto, $G(x,y) = g(x)$ es diferenciable en $\mathbb {R}^2.$ Desde $f(x,y) = G(x,y) + y^2,$ una suma de funciones diferenciables en $\mathbb {R}^2,$ $f(x,y)$ es diferenciable en todas partes en $\mathbb R ^2.$