Actualmente estoy repasando el Álgebra Abstracta de Harvard usando el libro de Michael Artin, y no tengo ninguna forma real de verificar mis pruebas, y esperaba asegurarme de que mi prueba era correcta.
La pregunta dice:
Demostrar que las matrices $\textbf{A} = \begin{bmatrix} a &0 \\ 0 & d \end{bmatrix}$ y $ \textbf{B} = \begin{bmatrix} a &b \\ 0 & d \end{bmatrix}$ ( $b \neq 0$ ) son similares si y sólo si $ a \neq d$
Mi prueba es la siguiente:
Tendremos que hacerlo en dos pasos:
(1) A es similar a B $\rightarrow$ $a \neq d$ Lo haremos por reducción y asumiremos (i) A y B son similares y (ii) $a=d$ . Si ese es el caso, entonces podemos escribir
$\begin{bmatrix} a &0 \\ 0 & d \end{bmatrix}$ como $\begin{bmatrix} a &0 \\ 0 & a \end{bmatrix}$ = a $\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ = $aI.$
Entonces, por similitud sabemos que
B \= $PAP^{-1}$ = $PaIP^{-1}$ = $PaP^{-1}$ = $aPP^{-1}$ = $aI$ . Esto es una contradicción y por lo tanto, sabemos que $a \neq d$
(2) $a \neq d$ $\rightarrow$ A y B son similares.
Podemos hacerlo simplemente eligiendo un $b$ y un $P$ para que esto sea así. Así que elige $b = 1 - \frac{a}{d}$ y P = $\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{d} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$ Entonces,
$PAP^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{d} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & \frac{-1}{d} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & \frac{-1}{d} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 - \frac{a}{d} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix} = \textbf{B}.$
Como, esto podría funcionar para todos $b$ (como $b$ fue elegido arbitrariamente), esto completa la prueba.
¿Es esto correcto? Todos los comentarios son útiles. Gracias.
