¿Existe $a_0$ , de tal manera que $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ no tiene límites?

Question

Supongamos que $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ es una secuencia, definida por la relación de recurrencia

$$ a_{n+1} = \phi(a_n) + \sigma(a_n) - a_n, $$

donde $\sigma$ denota la función de suma de divisores y $\phi$ es la función totiente de Euler. ¿Existe $a_0$ de manera que la correspondiente $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ no tiene límites?

Como $\phi(a_n) + \sigma(a_n) \geq 2a_n$ (ver aquí: Es $\phi(n) + \sigma(n) \geq 2n$ ¿Siempre es cierto? ), toda secuencia de este tipo es monotónicamente no decreciente. Esto significa que está acotada si contiene un elemento $a_n$ tal que $\phi(a_n) + \sigma(a_n) = 2a_n$ . Sabemos, que para satisfacer esta ecuación, $a_n$ debe ser $1$ o primo (ver: Encuentra todos los enteros positivos $n$ tal que $\phi(n)+\sigma(n)=2n$ . ). Por lo tanto, la pregunta es equivalente a: "¿Cada una de estas secuencias $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ con $a_0 \geq 2$ contienen un elemento primo?". Y no sé cómo seguir adelante.

Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

No es una respuesta completa, sino una intuición heurística de por qué probablemente muchos números cumplen su requisito, en particular $22$ .

Queremos mostrar $a_n$ nunca es primordial. Si se observa la secuencia con $a_0=22$ se observará que todos los términos son pares y, por tanto, no primos. Si podemos demostrar $a_n$ es uniforme para todos $n$ hemos terminado. Si intentamos la inducción, encontramos lo siguiente.

Recordemos que $\phi(n)$ es uniforme para todos $n>2$ Así que si $a_{n-1}>2$ es par, entonces $a_n$ es par si y sólo si $\sigma(a_{n-1})$ está en paz. Ahora recordemos que $$\sigma(p_1^{k_1}...p_i^{k_i})=(1+p_1+...+p_1^{k_1})(1+p_2+...+p_2^{k_2})...(1+p_i+...+p_i^{k_i}).$$ Para los primos Impares $p$ tenemos $(1+p+...+p^k)$ es par si y sólo si $k$ es impar. Y para $p=2$ tenemos $(1+p+...+p^k)$ es impar no importa qué $k$ es. Por lo tanto, $\sigma(n)$ es par si y sólo si existe un primo impar que divide a $n$ un número impar de veces. Así que $\sigma(n)$ es impar si y sólo si $n$ es un cuadrado, o $2n$ es un cuadrado.

El resto de este argumento será heurístico. Calculemos la probabilidad de $\sigma(n)$ siendo impar. Como hemos deducido que esto es equivalente a $n$ o $2n$ siendo un cuadrado, encontramos $\mathbb{P}(\sigma(n)\mbox{ odd})\approx\frac2{\sqrt{n}}$ . Por lo tanto, $$\mathbb{P}(a_n\mbox{ converges})\lessapprox2\left(\frac1{\sqrt{a_0}}+\frac1{\sqrt{a_1}}+...\right)$$ Si $a_n$ crece exponencialmente, lo que parece hacer, entonces esto nos da una probabilidad finita de que $a_n$ converge. Obsérvese también que esta probabilidad también converge a $0$ como $a_0\to\infty$ . Así que, heurísticamente hablando, parece probable que casi todos incluso $a_0$ hacen que la secuencia sea divergente.

Curiosamente, lo contrario es válido para los números Impares, ya que entonces $a_n$ es par si y sólo si $\sigma(a_{n-1})$ es impar, que acabamos de argumentar que tiene una baja probabilidad. Tal vez se pueda decir algo más sobre los diferentes factores de $2$ sin embargo.

En conclusión, como creo que ocurre a menudo en la teoría de los números, parece probable que conozcamos la respuesta, pero no hay una forma clara de demostrarlo. De nuevo, el principal problema es que la secuencia se define sumando y restando, pero a nosotros nos interesan los factores, que es lo que dificulta el análisis.