Espacio cociente del espacio de Hausdorff

Question

¿Es cierto que el espacio cociente de un espacio Hausdorff es necesariamente Hausdorff?

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En el libro "Curvas algebraicas y superficies de Riemann", de Miranda, el autor escribe:

" $\mathbb{}P^2$ puede verse como el espacio cociente de $\mathbb{C}^3-\{0\}$ por la acción multiplicativa de $\mathbb{C}^*$ . De esta manera, $\mathbb{}P^2$ hereda una topología de Hausdorff que es la topología cociente del mapa natural de $\mathbb{C}^3-\{0\}$ a $\mathbb{}P^2$ "

Es cierto que el plano proyectivo complejo $\mathbb{}P^2$ es Hausdorff, pero el razonamiento anterior de Miranda será verdadero si la afirmación de la pregunta es verdadera.

Answer 1

He pensado que es mejor convertir mis comentarios en una respuesta.

Respuesta corta: No, el espacio cociente de un espacio de Hausdorff no tiene por qué ser Hausdorff.

Estos son algunos de los ejemplos canónicos (a la vista de los comentarios los formulo utilizando acciones de grupo):

1. Dejemos que $\mathbb{Z}/2$ actuar $\mathbb{R} \times \{0\} \cup \mathbb{R} \times \{1\}$ por $g\cdot(t,0) = (t,1)$ y $g\cdot (t,1) = (t,0)$ si $t \neq 0$ y $g\cdot(0,0) = (0,0)$ y $g\cdot(1,1) = 1$ . Entonces el espacio cociente es el línea con dos orígenes que ciertamente no es Hausdorff.

2. Se podría objetar que este no es un ejemplo particularmente bueno porque la acción no es por homeomorfismos, y tendría que estar de acuerdo con eso. Así que aquí tenemos un ejemplo mejor: Dejemos que $\mathbb{Z}$ actuar $\mathbb{R}^2\smallsetminus\{0\}$ a través de la matriz $\begin{bmatrix}2&0\\0&1/2\end{bmatrix}$ (más exactamente, definir $n \cdot \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = A^{n}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ ). Entonces es fácil ver que las imágenes de $\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ en el cociente no tienen vecindades disjuntas.

3. Un ejemplo más drástico es la acción del subgrupo aditivo $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{R}$ . El cociente $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ lleva la topología trivial (porque $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ ).

En sentido positivo, me gustaría hacer las siguientes observaciones:

1. Si $G$ actúa por homeomorfismos el mapa cociente $p: X \to X / G$ es siempre abierto (al contrario que los mapas cocientes generales): esto se debe a que $V \subset X/G$ es abierto si y sólo si $p^{-1}(V) \subset X$ está abierto y $p^{-1}(p(U)) = \bigcup_{g \in G}gU$ es una unión de conjuntos abiertos si $U \subset X$ está abierto. Por lo tanto, $X/G$ es Hausdorff si y sólo si la relación de equivalencia orbital es un subconjunto cerrado de $X \times X$ .

2. Si un grupo $G$ actúa correctamente en el espacio de Hausdorff $X$ entonces $X/G$ es Hausdorff. Véase, por ejemplo, mi puesto en MO para obtener algunos datos rápidos sobre las acciones adecuadas y algunas referencias.

3. Si $G$ es un grupo de Lie que actúa suave, adecuada y libremente sobre una variedad $M$ entonces $M/G$ es un colector. Esto se puede encontrar, por ejemplo, en Duistermaat-Kolk Grupos de Lie o Montgomery-Zippin, Grupos de transformación topológica . Lamentablemente, no puedo darte referencias más precisas, ya que Google no me deja mirar las páginas correspondientes. Actualización: Olivier Bégassat recomienda a J.M. Lee, Introducción a los colectores lisos por esto (que sólo puedo secundar, ¡gracias!)

El último hecho es bastante difícil de demostrar en esta generalidad (y espero no haber olvidado una hipótesis).

Por supuesto, su pregunta sobre $P^2 = (\mathbb{C}^3 \smallsetminus \{0\}) / \mathbb{C}^{\ast}$ siendo un espacio de Hausdorff está cubierto por la observación 2, mientras que la observación 3 muestra que $P^2$ es incluso un colector.