¿Se han clasificado los grupos finitos doblemente transitivos?

Question

Estoy tratando de determinar si la literatura contiene una prueba completa de la clasificación de los grupos finitos 2-transitivos. Se trata de un resultado fundamental con importantes aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas, por lo que parece que vale la pena asegurarse de que realmente se ha demostrado. En resumen, la cuestión es que se suele atribuir a Hering la clasificación de los grupos afines no resolubles de 2 transiciones, pero parece que Hering nunca publicó un artículo que contuviera dicha clasificación; y el único artículo que pretende contener una prueba, a saber, un artículo de Liebeck de 1985, comienza con un salto lógico que no puedo seguir. [Añadido después: gracias a la respuesta de Michael Giudici, ahora puedo seguir el primer paso de la prueba de Liebeck. Todavía no he repasado el resto de la prueba, pero actualmente no tengo ninguna razón para dudar de su validez].

Permítanme resumir la literatura para aclarar la cuestión. Según el resultado clásico de Burnside, un grupo (finito) 2-transitivo $G$ satisface una de las siguientes características

1. $L\le G\le\text{Aut}(L)$ para algún grupo simple no abeliano $L$
2. $G\le\text{AGL}_r(p)$ en la acción habitual sobre $\mathbf{F}_p^r$ donde además $G$ contiene todas las traducciones por elementos de $\mathbf{F}_p^r$ .

Las posibilidades en el caso 1 fueron determinadas por Curtis-Kantor-Seitz 1976 en el caso $L$ es un grupo de Chevalley de tipo ordinario o retorcido (las citas completas están al final de esta pregunta, en orden cronológico). Es fácil resolver el caso $L=A_n$ (algunas personas citan a Maillet 1895 para esto, pero no he leído ese documento). Cuando $L$ es esporádica, Cameron 1981 y Kantor 1985 afirmaron el resultado sin pruebas, y Praeger-Soicher 1997 publicaron una prueba (resumida en su Tabla 5.1). Esto completa la prueba en el caso 1.

Así que la cuestión es el caso $2$ cuando $G$ es un grupo de transformaciones afines de un espacio vectorial con $G$ que contiene todas las traducciones, o en definitiva, $G$ es un "grupo afín". Parece que la primera referencia que afirma que $2$ -transitivos afines había sido clasificado es Cameron 1981, que no indica lo que los grupos son realmente, sino que se limita a afirmar como Teorema 5.3 que "Todos los grupos finitos 2-transitivos son conocidos". Enunciados más informativos del resultado aparecen en Huppert-Blackburn 1982, Kantor 1985, Abhyankar 1992, Dixon-Mortimer 1996 y Cameron 1999, todos los cuales incluyen listas de grupos.

Cameron 1981 dice que un trabajo de Hering (citado como "por aparecer", pero sin título) "examinó los grupos simples conocidos y determinó todas las situaciones en las que cada uno de ellos podía ocurrir como factor de composición [de un grupo afín 2-transitivo]". Más adelante hablaré de este desconocido trabajo.

Huppert-Blackburn 1982 da una prueba en el caso $G$ es solucionable (Thm. XII.7.3; este caso se resolvió por primera vez en Huppert 1957), y luego declara el resultado completo (sin prueba) como Observación XII.7.5, atribuyéndolo a Hering 1974. Pero Hering 1974 no contiene el resultado indicado, sino que sólo determina los grupos afines 2-transitivos que tienen un factor de composición isomorfo a $\text{PSL}_2(q)$ o $A_n$ o el más pequeño de los cuatro grupos esporádicos de Janko.

Kantor 1985 dice que el resultado se desprende de Curtis-Kantor-Seitz 1976, Hering 1973, Hering 1974, Hering 1985, Huppert 1957 y Maillet 1895, además de otros análisis de grupos esporádicos que se dejan al lector. Los únicos trabajos de la lista de Kantor que abordan el caso afín son los tres trabajos de Hering, de los cuales el segundo se ha resumido anteriormente y los otros dos se discutirán más adelante. (Una pequeña observación: el enunciado del resultado en Kantor 1985 es en realidad tautológico; habría que añadir la condición $n>1$ en el caso (B2) para que tenga contenido).

Abhyankar 1992 (en la página 87) cita a Cameron 1981, Kantor 1985, Curtis-Kantor-Seitz 1976 y O'Nan 1975. O'Nan 1975 contiene resultados maravillosos sobre los grupos 2-transitivos (impresionantemente, logrados sin utilizar la clasificación de los grupos simples finitos), pero no pretende clasificar los grupos afines 2-transitivos no resolubles. Abhyankar no cita a Hering, pero también Abhyankar no era un teórico de grupos y no afirmó conocer la prueba, sino que dijo que la clasificación de los grupos 2-transitivos "me fue comunicada por Cameron".

Dixon-Mortimer 1996 (en la página 244) cita a Huppert 1957, Hering 1974 y Huppert-Blackburn 1982 para la clasificación de los grupos afines 2-transitivos. Por lo tanto, todo lo que dicen sobre el tema está contenido en Huppert-Blackburn 1982.

Cameron 1999 (en la página 110) dice que los grupos afines no solucionables de 2 transiciones fueron determinados por Hering; el único artículo de Hering en la bibliografía del libro de Cameron es Hering 1974, que (en la página 194) se afirma que contiene condiciones precisas para saber cuáles de los grupos enumerados en la página 195 de Cameron 1999 son realmente de 2 transiciones (pero Hering 1974 no contiene tales condiciones).

Por lo tanto, la comunidad de la teoría de grupos parece estar unida en su creencia de que Hering ha clasificado los grupos afines 2-transitivos (no resolubles). Pero no veo ninguna evidencia de que Hering haya publicado nunca ni una declaración ni una prueba de esta clasificación. Los únicos artículos de Hering citados por cualquiera de las fuentes mencionadas son Hering 1973, Hering 1974 y Hering 1985 (así como el artículo de Hering sin título "por aparecer" citado en Cameron 1981). Ya he hablado de Hering 1974: sólo cubre el caso de que algún factor de composición del grupo sea $\text{PSL}_2(q)$ o $A_n$ o el grupo más pequeño de Janko. Hering 1985 no pretende clasificar los grupos afines 2-transitivos no resolubles. En cambio, en la introducción de Hering 1985 se dice que el documento logra esta clasificación sólo bajo el supuesto adicional de que algún factor de composición del grupo es un grupo de Chevalley (de tipo ordinario o retorcido). Sin embargo, el artículo de Hering no contiene ni una declaración ni una prueba de esta clasificación prometida; en su lugar, prueba resultados en esta dirección y luego dice "Ahora no es difícil comprobar cuáles de los 10 tipos no investigados anteriormente pueden darse", y realiza esta comprobación en un caso. Al final de Hering 1985 hay una cita a un artículo de Hering "por aparecer" (con un título -- es el último elemento de la bibliografía de abajo), y la afirmación de que ese artículo "contiene la investigación correspondiente para los grupos simples esporádicos conocidos". Pero he comprobado Mathscinet y no he podido encontrar ningún artículo de Hering con el título indicado, ni tampoco ningún artículo de Hering sobre este tema desde su artículo de 1985. Por supuesto, es posible que el artículo aún esté "por aparecer", pero quizás después de 31 años las probabilidades no sean altas.

Después de investigar todo lo anterior y de sentirme cada vez más frustrado, me alegré bastante cuando un teórico de grupos amigo me indicó Liebeck 1987, que es la única referencia que he visto que pretende demostrar la clasificación de los grupos afines 2-transitivos sin limitarse a remitir al lector a uno o más artículos de Hering. (Cuestión menor: hay que añadir la condición $a>1$ al caso A2 del resultado expuesto en Liebeck 1987, para que el resultado tenga contenido). Me desconcierta la afirmación de Liebeck de que "Los grupos afines 2-transitivos han sido determinados por Hering en [Hering 1985]", ya que casi con toda seguridad habría mirado el artículo y se habría dado cuenta de que no contenía el resultado; pero por la razón que sea parece tabú en la comunidad de la teoría de grupos admitir que Hering 1985 (o incluso Hering 1974) ni siquiera pretende demostrar este resultado.

Pero tampoco puedo seguir el primer paso de la prueba de Liebeck 1987. Comienza dejando que $G_0$ sea el estabilizador del vector cero, de modo que $G_0\le\text{GL}_r(p)$ y eligiendo $a$ sea mínimo para que $G_0\le\Gamma\text{L}_a(p^{r/a})$ . Escriba $q:=p^{r/a}$ . Casos con $a=1$ se incluyen en el enunciado del resultado, por lo que se puede suponer $a>1$ . La declaración del resultado también incluye los casos en los que $G_0$ normaliza $\text{SL}_a(q)$ por lo que se puede suponer que esto tampoco se cumple. Liebeck afirma entonces que el teorema principal de Aschbacher 1984 implica que una de ellas se cumple:

1. $L\le G_0/Z(G_0)\le \text{Aut}(L)$ para algún grupo simple no abeliano $L$ que no es uno de los pocos grupos específicos
2. $G_0$ normaliza $\text{Sp}_a(q)$
3. $G_0$ está contenida en el normalizador en $\Gamma\text{L}(\text{F}_q^a)$ de algunos $\ell$ -grupo $R$ , donde $\ell$ es un primo.

Aschbacher 1984 aborda exclusivamente los grupos entre un grupo simple y su grupo de automorfismo, por lo que parece que sólo puede ser relevante para descartar algunos de los grupos que se afirma que no se dan en el caso 1. ¿Alguien ve cómo justificar la afirmación de Liebeck? O, alternativamente, ¿alguien conoce alguna otra referencia que contenga una prueba de la clasificación de los grupos afines 2-transitivos no resolubles?

Observación final: los comentarios anteriores engloban todos los comentarios y respuestas a mathoverflow.32351 .

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Bibliografía:

Maillet 1895: Sur les isomorphes holoédriques et transitifs des groupes symétriques ou alternés, J. Math. Pures Appl. (5) 1 (1895), 5-34.

Huppert 1957: Twofold transitive resolvable permutation groups, Math. Z. 68 (1957), 126-150.

Hering 1973: On linear groups which contain an irreducible subgroup of prime order, Proc. Int. Conf. Proj. Planes, Washington State Univ. Press, Pullman, 1973, pp. 99-105.

Hering 1974: Grupos transitivos y grupos lineales que contienen subgrupos irreducibles de orden primo, Geometriae Dedicata 2 (1974), 425-460.

O'Nan 1975: Normal structure of the one-point stabilizer of a doubly transitive permutation group I, II: Trans. Amer. Math. Soc. 214 (1975), 1-74.

Curtis-Kantor-Seitz 1976: The 2-transitive permutation representations of the finite Chevalley groups, Trans. Amer. Math. Soc. 218 (1976), 1-59. (Para las correcciones, véase el artículo Revisión matemática. )

Cameron 1981: Finite permutation groups and finite simple groups, Bull. London Math. Soc. 13 (1981), 1-22.

Huppert-Blackburn 1982: Finite Groups III. Springer-Verlag, Berlín, 1982.

Aschbacher 1984: Sobre los subgrupos máximos de los grupos clásicos finitos, Invent. Math. 76 (1984), 469-514.

Kantor 1985: Homogeneous designs and geometric lattices, J. Comb. A (1985) 38, 66-74.

Hering 1985: Grupos transitivos y grupos lineales que contienen subgrupos irreducibles de orden primo, II: J. Algebra 93 (1985), 151-164.

Liebeck 1987: The affine permutation groups of rank three, Proc. London Math. Soc. (3) 54 (1987), 477-516.

Abhyankar 1992: Galois theory on the line in nonzero characteristic, Bull. Amer. Math. Soc. 27 (1992), 68-133.

Praeger-Soicher 1997: Low Rank Representations and Graphs for Sporadic Groups. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997.

Dixon-Mortimer 1996: Permutation Groups. Springer-Verlag, Nueva York, 1996.

Cameron 1999: Permutation Groups. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999.

Hering futuro(?): Sobre representaciones de grupos de Chevalley y planos de traslación, por aparecer (a partir de 1985).

Answer 1

El teorema de Aschbacher, citado por Liebeck, se refiere a los subgrupos máximos $G_0$ de un grupo $G$ satisface $SL(a,p^{r/a})\leqslant G \leqslant \Gamma L(a,p^{(r/a})$ . Para la aplicación de Liebeck, se toma $G=\Gamma L(a,p^{r/a})$ . Aschbacher da 9 clases de tales subgrupos. Suelen preservar algún tipo de estructura geométrica en el espacio vectorial y así se puede ver fácilmente que un subgrupo máximo de esa forma no es transitivo en el conjunto de vectores no nulos de $V$ . Esto deja las tres clases indicadas.