La teoría de Fredholm, desarrollada originalmente para el estudio de (sistemas de) ecuaciones diferenciales, existía desde hacía varias décadas cuando Gel'fand et al., trabajando en los años 50, notaron que el índice de Fredholm era invariante de homotopía es decir, si $F_t$ , $a \leq t \leq b$ es un camino continuo de operadores de Fredholm, entonces $\operatorname{Index}(F_t)$ es constante en $t$ y así empezaron a preguntarse si el índice de Fredholm de al menos algunos operadores de Fredholm podría calcularse en términos de invariantes topológicos honestos. Lo que Atiyah y Singer demostraron entonces fue que si $D : E \to F$ es un operador (pseudo)diferencial elíptico entre haces vectoriales lisos $E$ y $F$ sobre una variedad orientable compacta $X$ entonces $$ \operatorname{Index}(D) = \operatorname{Index}_{\text{top}}(D), $$ donde
- $\operatorname{Index}(D)$ es el índice de Fredholm de $D$ un dato puramente analítico,
- $\operatorname{Index}_{\text{top}}(D)$ es el índice topológico de $D$ el emparejamiento de una determinada clase de cohomología en $X$ obtenido a partir de $D$ con la clase de homología fundamental $[X]$ de $X$ .
Permítanme ahora dar los dos ejemplos más básicos de Atiyah--Singer en acción:
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(Ejemplo de Atiyah--Singer Imparcial) Sea $\gamma : S^1 \to \mathbb{C} \setminus \{0\}$ sea una trayectoria continua cerrada en el plano que no pase por el origen. Recordemos que el Espacio Hardy en el círculo $S^1$ es el subespacio cerrado $$ H^2(S^1) = \left\{ f = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n e^{i n x} \in L^2(S^1) \text{ such that } \forall n < 0, \; a_n = 0 \right\} $$ de $L^2(S^1)$ y que $P$ sea la proyección ortogonal de $L^2(S^1)$ en $H^2(S^1)$ . Sea $M_\gamma : L^2(S^1) \to L^2(S^1)$ sea el operador de multiplicación $(M_\gamma f)(x) = \gamma(x)f(x)$ y definir el Operador de Toeplitz $T_\gamma : H^2(S^1) \to H^2(S^1)$ por $T_\gamma = P \circ M_\gamma \circ P$ . Entonces Atiyah-Singer, en este caso especial, se reduce a la Teorema del índice de Toeplitz es decir, $$ \operatorname{Index}(T_\gamma) = -\text{winding number of $ |gamma $}, $$ que es ciertamente un invariante topológico de interés.
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(Ejemplo de Atiyah--Singer par) Sea $X$ sea una superficie de Riemann, y ver $d+d^\ast$ como operador $(X \times \mathbb{C}) \oplus \wedge^2 T^\ast_{\mathbb{C}} X \to T^\ast_{\mathbb{C}} X$ es decir, como un mapa de formas de grado par a formas de grado impar. Entonces, por un lado $$ \operatorname{Index}(d+d^\ast) = \chi(X), $$ donde $\chi(X)$ es la característica de Euler de $X$ mientras que por otro lado, $$ \operatorname{Index}_{\text{top}}(d+d^\ast) = \frac{1}{2\pi}\int_X K dA, $$ donde $K$ es la curvatura gaussiana de $X$ . Así, Atiyah--Singer para el operador diferencial elíptico $d+d^\ast$ se reduce a la Teorema de Gauss--Bonnet es decir, $$ \int_X K dA = 2\pi\chi(X). $$
Ahora, me temo que su ejemplo de $T := \tfrac{d}{dx} + \sin(x)$ no te va a decir mucho. Por un lado, el intervalo cerrado $[0,L]$ es un colector con frontera, y por otro lado, es necesario imponer condiciones de frontera de todos modos para tener realmente un operador bien definido, por lo que sería mejor tomar $L = 2k\pi$ para algunos $k \in \mathbb{N}$ e imponer condiciones de contorno periódicas. Entonces $T$ definirá un operador diferencial elíptico en $L^2(S^1)$ con el mismo símbolo principal $\sigma(T)$ como $D := \tfrac{d}{dx}$ ya que $$ \sigma(D)(df) := i[D,f] = if^\prime = i[T,f] =: \sigma(T)(df) $$ para todos $f \in C^\infty(S^1)$ y, por tanto, tendrá el mismo índice topológico. Sin embargo, se puede demostrar directamente que $\ker(D) = \mathbb{C}$ y que $\ker(D^\ast) = \ker(-D) = \mathbb{C}$ para que $$ \operatorname{Index}(T) = \operatorname{Index}_{\mathrm{top}}(T) = \operatorname{Index}_{\mathrm{top}}(D) = \operatorname{Index}(D) = 0. $$ Como alternativa, ya que $\sin(x)$ es suave, la multiplicación por $\sin(x)$ define un operador acotado en los espacios de Sobolev $W^{s,2}(S^1)$ para cada $s \geq 0$ y por lo tanto $T_t := \tfrac{d}{dx} + t\sin(x)$ define una familia continua de un parámetro de operadores diferenciales elípticos de primer orden sobre $L^2(S^1)$ , de modo que, por métodos teóricos del calor (cf. Roe, Operadores elípticos, topología y métodos asintóticos 2ª ed., pp. 144-145), el índice analítico $\operatorname{Index}(T_t)$ es constante en $t$ y por lo tanto $$ \operatorname{Index}(T) = \operatorname{Index}(T_1) = \operatorname{Index}(T_0) = \operatorname{Index}(D). $$ Resulta que es un hecho general que el índice de un operador diferencial elíptico en una variedad cerrada impar-dimensional necesariamente desaparece--obsérvese que los operadores de Toeplitz son pseudo operadores diferenciales, no diferenciales.
Ahora, ¿cuál es el punto de Atiyah--Singer? El yoga es similar al de, por ejemplo, el teorema de Stokes, donde un lado de la ecuación es a veces más fácil de tratar, y el otro lado en cambio.
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Por un lado, los índices de Fredholm, que fueron concebidos originalmente para estudiar sistemas de ecuaciones diferenciales, pueden ser muy difíciles de calcular, pero el lado derecho de Atiyah--Singer es a veces calculable en su lugar.
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Por otro lado, se podría querer saber si una determinada cantidad topológica, que es, a priori Si se puede realizar como el lado derecho de Atiyah--Singer para algún operador (pseudo)diferencial adecuado, entonces se sabe que es un número entero, ya que el lado izquierdo es necesariamente un número entero.
