Isomorfismos en términos de pullbacks

Question

Funciones dadas $f : X \rightarrow Y$ y $g : Y \rightarrow X,$ decimos que $f$ y $g$ son inversos si se cumple lo siguiente.

$$fx = y \Leftrightarrow x=gy$$

Podemos repetir esta condición en términos de retrocesos. Dadas las funciones $p,q: A,B \rightarrow C,$ definen que su retroceso es $$p \times_C q = \{(a,b) \in A \times B \mid pa = qb\},$$

en cuyo caso se deduce que dos funciones cualesquiera $f : X \rightarrow Y$ y $g : Y \rightarrow X$ son inversos si $$(*)\quad f \times_Y \mathrm{id}_Y = \mathrm{id}_X \times_X g.$$

Ahora bien, como señala Berci, los pullbacks anteriores existen en cualquier categoría.

Pregunta: ¿Hay alguna forma de expresar $(*)$ para que tenga sentido en categorías arbitrarias?

Answer 1

Bueno, los pullbacks mencionados existen en cualquier y son isomorfas a la categoría $X$ y $Y$ respectivamente:

$f\times_Y 1_Y\,\cong X\ \ $ y $\ \ 1_X\times_X g\,\cong Y$ ,

así que, efectivamente, tenemos una declaración en general: $f\times_Y1_Y\cong 1_X\times_Xg\ \iff\ X\cong Y$ aunque suene algo trivial.

(En general, me temo que no podemos esperar más, ya que los pullbacks son únicos sólo hasta el isomorfismo, por lo que difícilmente podemos interpretar ecuaciones estrictas).

Answer 2

Podemos reformular un poco tu retroceso: $f:X\to Y,g:Y\to X$ son mutuamente inversos sólo si $Y$ es un pullback $f\times 1_Y$ con las patas superiores del cuadrado de retroceso $g$ y $1_Y$ o, lo que es lo mismo, si $X$ es un pullback $g\times 1_X$ con la parte superior de las piernas $f$ y $1_X$ . Esto sigue siendo bastante vacío, pero al menos todos los mapas del diagrama están determinados.

He aquí una situación algo análoga en la que hay un resultado menos vacío: un mapa $f:X\to Y$ es un monomorfismo si y sólo si $X$ es un pullback $f\times_Y f$ con las patas superiores del cuadrado de pullback tanto $1_X$ . Del mismo modo $f$ es un epimorfismo si y sólo si el cuadrado dual es un pushout. Así que se puede obtener que $f$ es mono y epi examinando dos cuadrados, aunque no ambos son pullbacks. En muchas categorías (¡pero no en todas!), por ejemplo las categorías abelianas y las topos, eso es suficiente para demostrar $f$ es un isomorfismo.