Óptimo $\delta$ para Gromov's $\delta$ -hiperbolicidad del plano hiperbólico

Question

¿Cuál es el mínimo $\delta$ tal que el plano hiperbólico es $\delta$ -hiperbólico, en el sentido de la definición de cuatro puntos de Gromov?

Definición de cuatro puntos de Gromov: Un espacio métrico $(X, d)$ es $\delta$ -hiperbólico si, para todo $w, x, y, z \in X$ , $$ d(w, x) + d(y, z) \leq \text{max}\{d(x, y) + d(w, z), d(x, z) + d(w, y) \} +2\delta. $$

Empíricamente, el valor mínimo parece ser aproximadamente $0.693$ .

Hay un pregunta relacionada pero esto se refiere al óptimo $\delta$ en el $\delta$ -Definición de delgado. Aunque esto implica un límite en el $\delta$ de la definición de cuatro puntos, todavía no me ha ayudado a derivar el valor mínimo.

Cualquier ayuda (o referencia) será muy apreciada.

Answer 1

En efecto, el plano hiperbólico es $\log(2)$ -hiperbólica (con la definición de 4 puntos de hiperbolicidad) y ésta es la constante óptima. El resultado no es trivial y apareció por primera vez como Corolario 5.4 en

Nica, Bogdan; Špakula, Ján , Hiperbolicidad fuerte , Grupos Geom. Dyn. 10, No. 3, 951-964 (2016). ZBL1368.20057 .

Answer 2

La respuesta es $\delta = \ln(2) \approx 0.693147181$ .

Afirmación: La colocación correcta de los cuatro puntos en el infinito es en las esquinas de un cuadrado ideal.

Con la afirmación en la mano, podemos calcular $\delta$ en el modelo de medio plano superior. Colocamos los puntos en $0, 1, \infty, -1$ . Colocamos horóculos idénticos en cada uno de estos puntos. Estos son cíclicamente tangentes, y todos tienen la misma distancia mínima $\delta/2$ desde el punto $i$ . Los puntos de tangencia se permutan cíclicamente por la rotación de orden 4 sobre $i$ . Si tomamos el límite de la horósfera sobre $\infty$ para ser la línea $y = H$ entonces descubrimos que el elemento de orden cuatro (fijación $i$ ) envía $1 + iH$ a $-1 + 2i/H = -1 + iH$ . Así, $H = \sqrt{2}$ . Así que $\delta$ es el doble de la distancia de $i$ a $i\sqrt{2}$ y hemos terminado.

La prueba de la afirmación parece ser difícil. Tenemos que demostrar que, dados cuatro puntos materiales, podemos aumentar $\delta$ primero moviéndolos "hacia afuera" para que queden sobre un círculo (difícil), luego para que queden simétricamente sobre el círculo (medio), y luego aumentando el radio del círculo hasta el infinito (fácil).