ACTUALIZACIÓN 06/2020: Acabo de retomar esta pregunta y me he dado cuenta de que hay una respuesta bastante clara. En concreto, la condición requerida es la integrabilidad uniforme. Básicamente, la clase de funciones de la distribución que son uniformemente integrables puede inferirse utilizando un bootstrap. Sin la integrabilidad uniforme, todas las apuestas están canceladas. Estoy bastante seguro, aunque no lo recuerdo, de que hay un teorema en uno de los libros de Brillinger para esta situación.
Preparado: Dejemos que $p_n(x) = \mathbb{P}(S_n \leq x)$ y que $p_n^*(x) = \mathbb{P}^*(S_n^* - S_n \leq x)$ , donde $S_n$ es una estadística de prueba de media cero que puede ser válida para el bootstrap, por ejemplo, una media de la muestra, y $S_n^*$ es una re-muestra bootstrap de $S_n$ . Tenga en cuenta que $\mathbb{P}^*$ implica que la probabilidad está condicionada a los datos subyacentes. Suponiendo que se cumplan las condiciones de algún teorema del bootstrap, por ejemplo, el bootstrap estacionario, tenemos el principal resultado del bootstrap:
\begin{equation} \sup_{x \in \mathbb{R}} | p_n(x) - p_n^*(x)| \overset{\mathbb{P}}{\rightarrow} 0, \: \textrm{as} \: n \rightarrow \infty \end{equation}
Mi pregunta tiene dos partes:
Pregunta 1: El principal resultado del bootstrap se suele utilizar para afirmar que los intervalos de confianza del bootstrap son asintóticamente válidos. ¿Podemos hacer esta afirmación gracias al teorema de Slutsky? Si es así, ¿por qué la continuidad no es un problema?
Actualmente, tengo entendido que el argumento funciona de la siguiente manera:
1) Para algún punto fijo $x \in \mathbb{R}$ utilizamos el resultado anterior para afirmar que $p_n^*(x) \overset{\mathbb{P}}{\rightarrow} p_n(x)$ , como $n \rightarrow \infty$ .
2)Utilice el teorema de Slutsky para afirmar que $g(p_n^*(x)) \overset{\mathbb{P}}{\rightarrow} g(p_n(x))$ , como $n \rightarrow \infty$ para alguna función de Borel $g(a)$ que es continua en $a$ .
3) Elija $g(a)$ para ser la función cuantílica, es decir $g(F(x)) = \inf \{ x \in \mathbb{R} : \lambda \leq F(x) \}$ donde $F(x)$ es una CDF y $\lambda \in (0, 1)$ . El resultado es el siguiente.
El problema de este argumento, tal y como está, es que, para las funciones generales de la CDF, sólo se garantiza que la función cuantil sea continua a la izquierda. Supongo que se puede evitar este problema aprovechando el hecho de que $p_n(x)$ y $p_n^*(x)$ convergen a la Normal, que tiene una CDF continua, pero nunca he visto esto formalmente en ninguna parte, así que me pregunto si mi razonamiento es realmente correcto.
Pregunta 2: Habiendo establecido que podemos construir intervalos de confianza asintóticamente válidos, me pregunto qué otras características de la distribución de $S_n$ ¿podemos estimar de forma coherente?
Sé que la mayoría de los teoremas de arranque también incluyen un resultado de la forma $\mathbb{V}^*S_n^* \overset{\mathbb{P}}{\rightarrow} \mathbb{V} S_n$ , como $n \rightarrow \infty$ Así que eso se encarga de la varianza. ¿Qué pasa con otros momentos? Por ejemplo, ¿podemos deducir del resultado principal del bootstrap que $\mathbb{E}^* S_n^{*4} \overset{\mathbb{P}}{\rightarrow} \mathbb{E} S_n^4$ , como $n \rightarrow \infty$ ? Al igual que en el caso de los intervalos de confianza, intenté demostrarlo utilizando el teorema de Slutsky, pero no me sentí cómodo con la expresión resultante:
\begin{equation} \int x^4 dp_n^*(x) \overset{\mathbb{P}}{\rightarrow} \int x^4 dp_n(x), \: \mathrm{as} \: n \rightarrow \infty , \end{equation}
ya que no me queda claro que no estemos acumulando muchos "pequeños" errores en la integral.
EDITAR: Hice la pregunta aquí ya que es sobre el bootstrap. Sin embargo, como también se trata de la teoría de la probabilidad, si los usuarios consideran que sería más apropiado en las matemáticas de intercambio de pilas, por favor, hágamelo saber.
