Recientemente he estado aprendiendo sobre la óptica de Fourier, concretamente, que una lente fina puede producir la transformada de Fourier de un objeto en una pantalla situada en el plano focal.
Teniendo esto en cuenta, ¿el cristalino del ojo humano produce una transformación de Fourier en la retina?
Se agradece cualquier ayuda
Como se menciona en la pregunta, una lente delgada producirá en su plano focal la transformada de Fourier del campo óptico en su pupila, posiblemente multiplicada por un término de fase cuadrático. Sin embargo, para entender cómo se relaciona esto con la formación de imágenes en la imagen de la óptica ondulatoria, tenemos que dar un paso atrás, y observar la situación de forma más general. Bajo la aproximación paraxial, la propagación de un campo óptico puede modelarse con la integral de difracción de Fresnel: \begin{equation} U^\prime(x,y) = \frac{e^{i k z}}{i \lambda z} \mathrm{exp}\left[ \frac{i \pi (x^2 + y^2)}{\lambda z}\right] \ldots\\ \times \iint_{-\infty}^{\infty} U(\xi, \eta) \mathrm{exp}\left[ \frac{i \pi (\xi^2 + \eta^2)}{\lambda z}\right] \mathrm{exp}\left[ \frac{-i 2 \pi (x \xi + y \eta)}{\lambda z}\right] d\xi d\eta \end{equation} donde $U(\xi,\eta)$ es un campo óptico, $U^\prime(x,y)$ es el campo después de la propagación por una distancia $z$ y $\lambda$ y $k$ son la longitud de onda y el número de onda, respectivamente.
En el caso de una lente fina, una transparencia en contacto con la lente, y una distancia de propagación igual a la distancia focal $f$ podemos representar el campo de entrada como $$ U(\xi, \eta) = t_A(\xi, \eta) \mathrm{exp}\left[ \frac{-i \pi (\xi^2 + \eta^2)}{\lambda f}\right] $$ donde $t_A$ es la transmisión de amplitud de la transparencia, y el término de fase cuadrática es la curvatura del frente de onda introducida por una lente delgada de longitud focal $f$ . Si se introduce esto en la integral de difracción anterior, se ve que, cuando $z = f$ la integral se reduce a una transformada de Fourier y tenemos \begin{aligned} U^\prime(x,y) &= \frac{e^{i k z}}{i \lambda z} \mathrm{exp}\left[ \frac{i \pi (x^2 + y^2)}{\lambda z}\right] \iint_{-\infty}^{\infty} t_A(\xi, \eta) \mathrm{exp}\left[ \frac{-i 2 \pi (x \xi + y \eta)}{\lambda z}\right] d\xi d\eta \\ {} &= \frac{e^{i k z}}{i \lambda z} \mathrm{exp}\left[ \frac{i \pi (x^2 + y^2)}{\lambda z}\right] \mathcal{F}[t_A](x,y) \end{aligned} donde $\mathcal{F}$ es la transformada de Fourier. No lo digo explícitamente, pero puedes suponer que las transformadas de Fourier que escribo están siempre debidamente escaladas. En este caso, si la FT se define para tomar funciones de $(\xi, \eta)$ y funciones de retorno de la frecuencia espacial $(\alpha, \beta)$ , debe asumir el escalado implícito $(\alpha, \beta) \rightarrow (\frac{x}{\lambda z},\frac{y}{\lambda z})$ .
Ahora, no lo derivaré aquí porque las integrales son enormes, pero si usas la primera ecuación que escribí para propagar algún campo de objetos por una distancia $f$ y luego aplicar la modificación del frente de onda mediante una lente delgada de longitud focal $f$ y se propagan a otra distancia $f$ Si no se puede hacer nada, se verá que los términos de fase cuadrática se cancelan entre sí, y el campo resultante es exactamente la transformada de Fourier del campo del objeto, sin ni siquiera el término de fase cuadrática que se obtiene si el objeto está directamente contra la lente. Si tienes problemas con esto, ten en cuenta la identidad de la transformada de Fourier para la doble FT de una función; esto hace que la derivación sea sencilla.
De forma más general, esta derivación puede aplicarse a una serie arbitraria de elementos ópticos y distancias de propagación. Con suficiente esfuerzo, se puede demostrar que, para un sistema óptico paraxial descrito por una matriz ABCD, un campo óptico se propaga a través del sistema por: \begin{equation} U^\prime(x,y) = \frac{e^{i k L_0}}{i \lambda B} \mathrm{exp}\left[ \frac{i \pi D(x^2 + y^2)}{\lambda B}\right] \ldots\\ \times \iint_{-\infty}^{\infty} U(\xi, \eta) \mathrm{exp}\left[ \frac{i \pi A (\xi^2 + \eta^2)}{\lambda B}\right] \mathrm{exp}\left[ \frac{-i 2 \pi (x \xi + y \eta)}{\lambda B}\right] d\xi d\eta \end{equation} donde $L_0$ es la longitud efectiva del camino óptico a través del eje óptico del sistema.
Esto, por supuesto, sigue siendo válido sólo para un sistema óptico coherente. Una forma de pensar en esto en el contexto de un sistema de imágenes (como un ojo o una cámara) es que sólo se aplica al campo debido a un único punto de la escena que se está fotografiando. La imagen final puede obtenerse propagando coherentemente el campo de cada punto del objeto, tomando la magnitud al cuadrado del campo resultante para obtener su intensidad, y sumando después las intensidades de cada punto del objeto.
Así, supongo que se podría afirmar que vemos una superposición de transformadas de Fourier de cada punto del objeto, en lugar de ver directamente una transformada de Fourier. De hecho, la imagen en su retina no mira como la imagen que obtienes si tomas una escena cotidiana y la transformas de Fourier en tu ordenador. Sin embargo, las lentes hacer realizar transformadas de Fourier en campos ópticos. Sin embargo, cuando se considera un sistema de imágenes, hay que tener en cuenta dónde está el campo que se transforma, en relación con el objetivo . En general, este campo es pas el campo en el objeto que está mirando; es el campo a cierta distancia delante de su pupila, y en una situación del mundo real, no es simplemente un campo coherente de un punto de origen, sino una superposición incoherente de campos de cada punto en su campo de visión.
En la práctica, esto significa que la imagen incoherente rara vez se simula con la integral ABCD anterior. Este tipo de cálculo es útil para los sistemas de imagen coherentes (un telescopio es un buen ejemplo, si sólo se habla de estrellas y no de objetos extendidos), pero en el caso incoherente es mucho más sencillo simular la imagen aplicando puramente la MTF/OTF como una convolución o un filtro lineal. Sin embargo, incluso en este caso, el cálculo sigue basándose en una transformada de Fourier.
Consulte Wikipedia sobre el tema. Dice que la imagen a transformar tiene que estar a 1 distancia focal delante del objetivo (no al infinito o al menos más allá de una distancia focal). Dice que la imagen tiene que estar en una película transparente, y ser iluminada desde atrás por ondas planas, como desde una fuente puntual a distancia.
No, no vemos las transformadas de Fourier, sino la óptica clásica (geométrica), que es la luz que se propaga a lo largo de trayectorias geométricas en el límite de pequeñas longitudes de onda. Este límite hace que la luz que obtenemos de una fuente se reenfoque en un punto en un lugar correspondiente a la fuente, no hay ninguna transformación de Fourier involucrada.
El fenómeno del que habla es una combinación de la ley de difracción junto con el enfocar la ley . Decir que la lente produce la transformada de Fourier es una forma engañosa de decirlo - todo lo que hace la lente es enfocar el patrón de difracción en diferentes direcciones en diferentes puntos de la placa fotográfica. La difracción es lo que hace la transformación de Fourier.
Si se coloca un objeto difractante en un foco de la lente, ésta proyectará el patrón de difracción producido por un difractante objeto a la distancia focal en el otro lado de la lente en una pantalla de tal manera que los diferentes ángulos de salida se enfocan cada uno en un punto diferente.
Como la intensidad de la difracción es igual a la transformada de Fourier de la función de transmisión, esto producirá una imagen que realiza una transformada de Fourier del objeto en el punto focal. Para ver un ejemplo de cómo la difracción produce transformadas de Fourier, vea esta respuesta: ¿Cómo es la distribución de irradiación Fraunhofer para una apertura de doble rendija de diferentes longitudes?
Lo que falta en estas respuestas es que los CCD como tu cámara no pueden, en principio, ver una transformada de Fourier. Incluso si pones una lente en el plano focal, no verás la transformada de Fourier. Tu cámara no es un interferómetro.
Tomando prestada la ecuación de la respuesta de Colin K vemos que la integral, puede ser negativa, positiva o incluso imaginaria.
\begin{equation} U^\prime(x,y) = \frac{e^{i k L_0}}{i \lambda B} \mathrm{exp}\left[ \frac{i \pi D(x^2 + y^2)}{\lambda B}\right] \ldots\\ \times \iint_{-\infty}^{\infty} U(\xi, \eta) \mathrm{exp}\left[ \frac{i \pi A (\xi^2 + \eta^2)}{\lambda B}\right] \mathrm{exp}\left[ \frac{-i 2 \pi (x \xi + y \eta)}{\lambda B}\right] d\xi d\eta \end{equation}
Como la luz oscila rápidamente, una cámara convencional no puede realizar interferometría de amplitud y debe promediar muchos periodos de luz, eliminando la parte compleja de la onda (por no hablar de la parte positiva o negativa). Además, incluso cuando se tiene un interferómetro, el número imaginario tendrá un desplazamiento de fase con respecto a un haz de referencia, si el haz de referencia está desplazado por una constante (franja desplazada) todos los números del campo estarán desplazados. \begin{equation} <U^*U>_t \end{equation}
Curiosamente, en el caso de un solo color con iluminación uniforme, con dificultad, podemos realizar mediciones interferométricas para extraer un campo "holístico" que incluya las partes real e imaginaria de nuestra señal, lo que nos permite propagar realmente el campo de luz de un lado a otro. Hacer esto para la luz blanca y una distribución de ángulos de iluminación es un tema de investigación todavía actual, si fuera una persona peor enlazaría con mis trabajos de investigación.
\begin{equation} <U>_t \end{equation}
Pero recuerda que tu cámara tampoco ve la transformada de Fourier porque ésta tiene números imaginarios.
La respuesta es no.
Una lente fina positiva tiene la propiedad de que la amplitud del campo complejo a la distancia $f$ después de la lente es la transformada de Fourier de la amplitud del campo complejo a la distancia $f$ antes del objetivo, donde $f$ es la distancia focal del objetivo. Esto se llama $2f$ sistema.
Sin embargo, es erróneo decir que eso es una "imagen", porque esas distancias no cumplen la condición de formar una imagen:
$$ 1/a + 1/b = 1/f $$
Aquí, $a$ y $b$ son ambos $f$ y, por tanto, obviamente $1/2f \neq 1/f$ .
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