Pregunta 39 del capítulo 3 de Análisis Real de Folland

Question

La pregunta "Si { $F_j$ } es una secuencia de funciones crecientes no negativas sobre $[a,b]$ tal que $F(x)= \sum_1^\infty F_j(x) < \infty$ " para todos $x \in [a,b]$ entonces $F\prime(x)=\sum_1^\infty F\prime_j(x)$ para a.e. $x \in [a,b]$ . (Basta con suponer que $F_j \in NBV$ . Considere las medidas $\mu_{F_j}$ .)"

Por el teorema 3.23 página 101 del mismo libro tiene sentido suponer que $F_j \in NBV$ para todos $j$ .

En realidad, tengo preguntas muy básicas: en primer lugar, ¿cómo se expresa la derivada de F? ¿Podemos escribirla como: $F\prime = lim_{r\rightarrow 0} \frac{\mu_F(E_r)}{m(E_r)}$ donde $\mu_F$ es la medida de Borel , $\mu((a,b])=F(b)-F(a)$ , $m$ es la medida de Lebesgue, y $E_r = (x,x+h]$ .

Después de eso me planteo escribir $\mu_F$ en términos de $\mu_{F_j}$ 's y obtener la igualdad, pero parece muy incorrecto y no sirve de nada el hecho de que $F_j$ son no negativos.

Así que, ¿podría alguien darme algunas pistas y aclaraciones?

Gracias.

Answer 1

Esto es Teorema de Fubini sobre la diferenciación . La prueba es la siguiente.

Utilizaremos el siguiente lema:

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Lema: Si $G:\mathbb R\to\mathbb R$ es creciente, entonces $\int_a^bG'(t)dt\leq G(b)-G(a)$ .

(prueba.)Obsérvese que $G$ es diferenciable a.e. y la derivada es positiva dondequiera que exista porque es creciente. Sea $c\in(a,b)$ . Por el lema de Fatou, tenemos $$ \begin{eqnarray} \int_a^{c} G'(t)dt&\leq&\liminf_{n\to\infty}\int_a^c \frac{G(t+n^{-1})-G(t)}{n^{-1}}dt\\ &=&\liminf_{n\to\infty}\left(\int_c^{c+n^{-1}}G(t)dt-\int_a^{a+n^{-1}}G(t)dt \right)\cdot n\\ &\leq&\liminf_{n\to\infty}G(c+n^{-1})-G(a)\\ &\leq& G(b)-G(a). \end{eqnarray} $$ Dejar $c\to b$ (mediante una secuencia contable y aplicando MCT) da la desigualdad deseada. $\square$

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Ahora probamos la afirmación. Obsérvese que $F'(x)$ y $f_j'(x)$ existe para a.e. $x\in[a,b]$ porque están aumentando. Si $x$ es dicho punto, entonces para cualquier $n$ tenemos $F'(x)-\sum_{j=1}^n f_j'(x)\geq 0$ (porque $F-\sum_{j=1}^{n}f_j=\sum_{j=n+1}^\infty f_j$ es creciente) y por lo tanto $F'(x)\geq \sum_{j=1}^\infty f_j'(x)$ . Así, $F'\geq\sum_{j=1}^\infty f_j'$ a.e. en $[a,b]$ .

Por otra parte, nuestro lema implica que $$ \begin{eqnarray} \int_a^b F'(t)dt&=&\int_a^b\sum_{j=1}^nf_j'(t)dt+\int_a^b(F-\sum_{j=1}^nf_j)'(t)dt\\ &\leq&\int_a^b\sum_{j=1}^\infty f_j'(t)dt+(F-\sum_{j=1}^nf_j)(b)-(F-\sum_{j=1}^nf_j)(a), \end{eqnarray} $$ por lo que dejar $n\to\infty$ se obtiene la desigualdad $$\int_a^b F'(t)dt\leq\int_a^b\sum_{j=1}^\infty f_j'(t)dt.$$ Porque $F'\geq\sum_{j=1}^\infty f_j'$ a.e. y $F'\in L^1([a,b],m)$ por el lema, esta desigualdad implica que $F'=\sum_{j=1}^\infty f_j'$ a.e.