Supongamos que $f:\Bbb{C}\rightarrow \Bbb{C}$ es holomorfa, $f(z+1)=f(z)$ para todos $z \in \Bbb{C}$ y $$|f(z)|\leq \exp\left(\frac{2}{\pi}|z|\right).$$ Es $f(z)$ una constante en $\Bbb{C}$ ?
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jaredsten
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Creo que puedes usar el teroema de Liouville. Dado que $f$ es una función entera, entonces $g=f\exp(2z/\pi)$ también es una función entera. Fácilmente podemos ver que $g$ es una constante en $\Bbb C.$ Así que podemos obtener $f(z)=c\exp(2z/\pi)$ Sin embargo, tenemos $f(z)=f(z+1)$ Así que $c=0,$ y como resultado $f(z)=0$ para todos $z\in \mathbb{C}$
Por periodicidad de $f$ la siguiente función está bien definida y es holomorfa en $\mathbb{C}^{\ast}$ :
$$ h(z) = f\left(\frac{\log(z)}{2\pi i}\right) $$
Considerando todas las ramas de $\log$ el módulo de $h$ puede estimarse mediante
$$ |h(z)| = \left|f\left(\frac{\log(z)}{2\pi i}\right) \right| \leq \min_{k \in \mathbb{Z}} \exp \left( \left| \frac{\log(z)}{ \pi^2 i} + \frac{2 k}{\pi} \right| \right) \leq \exp \left( \frac{1}{\pi} + \frac{|\log|z| \,|}{ \pi^2} \right). $$
Para $|z| \leq 1$ esto implica
$$ | z \, h(z) | \leq e^{1/\pi} |z|^{1-1/\pi^2} $$
que muestra que $z\,h(z)$ está limitada cerca de $z=0$ y, por tanto, se extiende a toda una función. Dado que $z\,h(z)$ desaparece en $z=0$ se deduce que $h(z)$ es en sí mismo entero.
Del mismo modo para $|z| \geq 1$ obtenemos
$$ |z \, h(z^{-1})| \leq e^{1/\pi} |z|^{1-1/\pi^2} $$
y por lo tanto $h(z^{-1})$ también está entero. Entonces $h(z)$ es una función entera acotada por lo que debe ser constante. entonces $f$ también es constante.
