¿Matriz nilpotente?

Question

Tengo la siguiente pregunta sobre la matriz $$ \mathbf{A} = \left[\begin{array}{rrr} x-3&-x+3&-x+5\\ x-2&-x+2&-x+4\\ -1&1&-1 \end{array}\right] $$ Me han dicho que dicha matriz $\mathbf{A}$ se llama nilpotente. Mirando https://en.wikipedia.org/wiki/Nilpotent_matrix debería por algún poder $k$ dan una matriz cero. Me piden que calcule $\mathbf{A}^2$ y $\mathbf{A}^3$ . He intentado calcularlas en maple pero ninguna da una matriz cero? ¿Por qué llamar entonces a $\mathbf{A}$ ¿una matriz nilpotente?

(Si me lo piden, puedo escribir los resultados en código látex :) )

Esta es la definición del ejercicio:

¿Se equivoca el autor del ejercicio?

Answer 1

El polinomio característico de la matriz es $\lambda^3+2\lambda^2+2\lambda$ por lo que la matriz no es nilpotente. Esto también se puede comprobar con la traza que no es cero.

Hay una errata en el ejercicio: si el $(3,3)$ el coeficiente se convierte en $1$ entonces la afirmación es verdadera, porque el polinomio característico es $\lambda^3$ .

Alimenté la matriz a Pari-GP, para obtener el polinomio característico. Cambiando $-1$ en $1$ en la esquina inferior derecha hace que la traza sea cero, por lo que se cumple la condición necesaria. Y el polinomio característico confirma la errata.

Por cierto, el cuadrado de la matriz (modificada) es $$ \begin{bmatrix} -2 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ que es independiente de $x$ .

El cuadrado de la matriz original es en cambio $$ \begin{bmatrix} -2 & 2 & 2x - 8 \\ -2 & 2 & 2x - 6 \\ 2 & -2 & 0 \end{bmatrix} $$ y el cubo es $$ \begin{bmatrix} -2x + 10 & 2x - 10 & -2x + 6 \\ -2x + 8 & 2x - 8 & -2x + 4 \\ -2 & 2 & 2 \end{bmatrix} $$